Encontrar una base y la dimensión de los subespacios vectoriales S ={(1, 2,−1, 3); (2, 1,0,−2); (0, 1, 2, 1); (3, 4, 1, 2) }

Para encontrar una base y la dimensión del subespacio vectorial \( S \) generado por los vectores \( \{(1, 2, -1, 3), (2, 1, 0, -2), (0, 1, 2, 1), (3, 4, 1, 2)\} \), necesitamos determinar un conjunto de vectores linealmente independientes que generen el mismo subespacio. Esto se puede hacer construyendo una matriz cuyas filas sean los vectores dados y luego reduciendo la matriz a su forma escalonada por filas (escalonada reducida).

### Paso 1: Construir la matriz
La matriz asociada a los vectores es:

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
2 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
3 & 4 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Reducir la matriz a forma escalonada por filas
Ahora, reducimos la matriz \( A \) a su forma escalonada por filas.

1. **Primera columna**: Ya tenemos un 1 en la primera posición de la primera columna. Vamos a eliminar las entradas debajo de este 1.
   - Restamos 2 veces la primera fila de la segunda fila.
   - Restamos 3 veces la primera fila de la cuarta fila.

\[
A_1 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & -3 & 2 & -8 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -2 & 4 & -7
\end{pmatrix}
\]

2. **Segunda columna**: Tomamos el pivote en la segunda fila, segunda columna (-3) y lo hacemos 1 dividiendo toda la segunda fila por -3.

\[
A_2 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -2 & 4 & -7
\end{pmatrix}
\]

3. **Eliminar las entradas en la tercera y cuarta fila en la segunda columna**:
   - Restamos la segunda fila de la tercera fila.
   - Sumamos 2 veces la segunda fila a la cuarta fila.

\[
A_3 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\
0 & 0 & \frac{8}{3} & -\frac{5}{3} \\
0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{7}{3}
\end{pmatrix}
\]

4. **Tercera columna**: Hacemos el pivote en la tercera fila, tercera columna (8/3) igual a 1, multiplicando la tercera fila por 3/8.

\[
A_4 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{5}{8} \\
0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{7}{3}
\end{pmatrix}
\]

5. **Eliminar la entrada en la cuarta fila en la tercera columna**:
   - Restamos 2/3 de la tercera fila de la cuarta fila.

\[
A_5 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -\frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{5}{8} \\
0 & 0 & 0 & \frac{29}{12}
\end{pmatrix}
\]

Finalmente, reducimos la matriz a la forma escalonada reducida. Los pivotes están en la primera, segunda, tercera y cuarta columna, por lo que todos los vectores son linealmente independientes.

### Resultado
- **Base**: Una base del subespacio vectorial \( S \) es el conjunto \( \{(1, 2, -1, 3), (2, 1, 0, -2), (0, 1, 2, 1), (3, 4, 1, 2)\} \).
- **Dimensión**: La dimensión del subespacio vectorial \( S \) es 4.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se verifica si un conjunto de vectores es una base de un subespacio?
2. ¿Qué significa que un conjunto de vectores sea linealmente independiente?
3. ¿Cómo se encuentra la dimensión de un subespacio generado por un conjunto de vectores?
4. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la dimensión de un subespacio?
5. ¿Cómo afecta la adición de un vector a la dimensión de un subespacio?

### Tip
Para verificar si los vectores son linealmente independientes, observa si la matriz formada por ellos tiene rango completo (el número máximo de pivotes).

Discover how to find a basis and the dimension of the vector subspace S generated by {(1, 2, -1, 3), (2, 1, 0, -2), (0, 1, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}. This problem involves constructing a matrix, reducing it to row echelon form, and determining linear independence. Suitable for advanced university-level students and researchers.

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