Vérifie si (1,1,1) et (-1,0,1) sont des bases de l'application: (x,y,z,t) -> (x+y+3z-3t, x-y+z+t, x+2z-t)

Pour vérifier si les vecteurs \((1, 1, 1)\) et \((-1, 0, 1)\) forment une base pour l'application linéaire donnée par \((x, y, z, t) \mapsto (x+y+3z-3t, x-y+z+t, x+2z-t)\), il est nécessaire de vérifier si les images de ces vecteurs sous l'application linéaire sont linéairement indépendantes.

### Étape 1: Calculer les images des vecteurs
Pour \((1, 1, 1)\):
\[
\text{Image de } (1, 1, 1) = (1 + 1 + 3(1) - 3(0), 1 - 1 + 1 + 0, 1 + 2(1) - 0) = (5, 1, 3)
\]

Pour \((-1, 0, 1)\):
\[
\text{Image de } (-1, 0, 1) = (-1 + 0 + 3(1) - 3(0), -1 - 0 + 1 + 0, -1 + 2(1) - 0) = (2, 0, 1)
\]

### Étape 2: Vérification de l'indépendance linéaire
Les vecteurs \((5, 1, 3)\) et \((2, 0, 1)\) sont-ils linéairement indépendants?

Deux vecteurs sont linéairement indépendants s'il n'existe pas de scalaires \(a\) et \(b\), non tous deux nuls, tels que:
\[
a(5, 1, 3) + b(2, 0, 1) = (0, 0, 0)
\]

Cela donne les équations suivantes:
\[
5a + 2b = 0
\]
\[
a = 0
\]
\[
3a + b = 0
\]

Résolvons ce système:
1. De \(5a + 2b = 0\), nous avons \(b = -\frac{5}{2}a\).
2. Substituons dans \(3a + b = 0\) :
   \[
   3a - \frac{5}{2}a = 0
   \]
   \[
   \left(\frac{6}{2} - \frac{5}{2}\right)a = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}a = 0 \Rightarrow a = 0
   \]
   Puis, \(b = 0\).

Puisque \(a = 0\) et \(b = 0\), les vecteurs \((5, 1, 3)\) et \((2, 0, 1)\) sont linéairement indépendants.

### Conclusion
Oui, les vecteurs \((1, 1, 1)\) et \((-1, 0, 1)\) forment une base de l'application linéaire donnée.

---

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions?

Voici 8 questions supplémentaires en lien avec ce problème :

1. Comment déterminer si trois vecteurs forment une base dans \(\mathbb{R}^3\)?
2. Comment vérifier si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant?
3. Qu'est-ce qu'une transformation linéaire et comment l'identifier?
4. Quelles sont les propriétés principales des espaces vectoriels?
5. Comment calculer le noyau d'une application linéaire?
6. Quelles sont les applications pratiques des bases en mathématiques?
7. Quelle est la différence entre un espace vectoriel et un sous-espace vectoriel?
8. Comment changer de base dans un espace vectoriel?

**Astuce :** Lorsque vous travaillez avec des vecteurs dans des transformations linéaires, il est souvent utile de vérifier leur indépendance linéaire pour déterminer s'ils peuvent servir de base.

Learn how to determine if the vectors (1, 1, 1) and (-1, 0, 1) form a basis for the given linear transformation (x, y, z, t) -> (x+y+3z-3t, x-y+z+t, x+2z-t). Understand the process of verifying linear independence and basis formation in linear algebra. Suitable for undergraduate students studying linear algebra and transformations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation