1)	Sea lineal L: R3----R4 tal que L(x,y,z)= (x+y, x-y+z, y-z, x+z) a)  Obtenga la base de Nuc(L) y Img(L)

Para obtener la base del núcleo (Nuc\(L\)) y de la imagen (Img\(L\)) de la transformación lineal \( L : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4 \) definida por \( L(x, y, z) = (x + y, x - y + z, y - z, x + z) \), seguimos los siguientes pasos:

### Base de Nuc\(L\)
Primero, representamos la transformación \( L \) en forma matricial:

\[ L \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \]

La matriz de transformación \( A \) es:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Para encontrar el núcleo de \( L \), resolvemos el sistema homogéneo \( A \mathbf{v} = \mathbf{0} \):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1. \( x + y = 0 \)
2. \( x - y + z = 0 \)
3. \( y - z = 0 \)
4. \( x + z = 0 \)

Resolvemos el sistema:

De la primera ecuación: \( y = -x \)

De la tercera ecuación: \( y = z \)

Combinando estas dos relaciones, obtenemos:

\[ z = -x \]

Sustituyendo estas relaciones en la cuarta ecuación:

\[ x + z = x - x = 0 \]

Lo cual es consistente. Por lo tanto, el núcleo de \( L \) es el conjunto de vectores de la forma \( (x, -x, -x) \). Una base de este conjunto es:

\[ \{ (1, -1, -1) \} \]

### Base de Img\(L\)
Para encontrar la imagen de \( L \), determinamos el rango de la matriz \( A \) reduciendo \( A \) a su forma escalonada por filas.

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Aplicamos operaciones de fila:

\[ R2 = R2 - R1 \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ R4 = R4 - R1 \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ R3 = R3 + \frac{1}{2} R2 \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ R4 = R4 + 2R3 \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

El rango de \( A \) es 3 (número de filas no nulas). Por lo tanto, la dimensión de la imagen es 3. Los vectores columna pivote de la matriz original \( A \) forman una base para la imagen:

\[ \{ (1, 1, 0, 1)^T, (1, -1, 1, 0)^T, (0, 1, -1, 1)^T \} \]

### Resumen
- **Base de Nuc\(L\)**: \(\{ (1, -1, -1) \}\)
- **Base de Img\(L\)**: \(\{ (1, 1, 0, 1)^T, (1, -1, 1, 0)^T, (0, 1, -1, 1)^T \}\)

¿Te gustaría detalles adicionales sobre algún paso o tienes alguna pregunta específica?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se obtiene la forma escalonada por filas de una matriz?
2. ¿Qué es el rango de una matriz y cómo se interpreta?
3. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales utilizando eliminación gaussiana?
4. ¿Qué representan los vectores columna pivote en una matriz?
5. ¿Cuál es la relación entre el rango de una matriz y la dimensión de su imagen?
6. ¿Cómo se verifica si un conjunto de vectores es linealmente independiente?
7. ¿Qué propiedades debe cumplir una base de un subespacio vectorial?
8. ¿Cómo se relaciona la dimensión del núcleo y la imagen con el teorema del rango?

### Tip
Recuerda que una base de un subespacio vectorial es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el subespacio.

Explore the base of the nucleus (Nuc(L)) and image (Img(L)) of the linear transformation L: R^3 to R^4 defined by L(x, y, z) = (x + y, x - y + z, y - z, x + z). Learn how to find the kernel and image using matrix operations and Gaussian elimination. Suitable for advanced undergraduate students studying linear algebra.

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