Sea L:M2.2-------M2.2 la transformación lineal definida como L(Y)= [(1&1@2&1)]^T matriz 2x2  Y - Y[(1&1@2&1)]^T matriz 2x2
a) Determine una base para nuc(L), b) Determine una base para la Im(L).

Para resolver el problema, definiremos la transformación lineal \( L \) y luego encontraremos las bases para el núcleo (\(\text{Nuc}(L)\)) y la imagen (\(\text{Im}(L)\)) de la transformación.

**Definición de \( L \):**
La transformación lineal \( L \) se define por:

\[
L(\mathbf{Y}) = 
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\mathbf{Y} - \mathbf{Y}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\]

**a) Base para el núcleo de \( L \) (\(\text{Nuc}(L)\))**

El núcleo de una transformación lineal consiste en todos los vectores \(\mathbf{Y}\) tales que \( L(\mathbf{Y}) = \mathbf{0} \). Así, necesitamos resolver:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\mathbf{Y} - \mathbf{Y}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix} = \mathbf{0}
\]

Sea \(\mathbf{Y} = \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{pmatrix}\). Entonces:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 + y_3 & y_2 + y_4 \\ 2y_1 + y_3 & 2y_2 + y_4 \end{pmatrix}
\]

y 

\[
\begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 + 2y_2 & y_1 + y_2 \\ y_3 + 2y_4 & y_3 + y_4 \end{pmatrix}
\]

El sistema resultante se simplifica a:

\[
\begin{pmatrix}
0 & -2y_2 + y_3 - y_4 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
= \mathbf{0}
\]

Solucionando el sistema de ecuaciones, encontramos que \( y_2 = \frac{y_3 - y_4}{2} \) y \( y_1 \) es libre. Entonces, un vector en el núcleo es de la forma \( \mathbf{Y} = \begin{pmatrix} y_1 & \frac{y_3 - y_4}{2} \\ y_3 & y_4 \end{pmatrix} \). Tomando \( y_1 = 0, y_3 = 1, y_4 = 2 \), encontramos un vector base:

\[
\text{Base de Nuc}(L) = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \right\}
\]

**b) Base para la imagen de \( L \) (\(\text{Im}(L)\))**

La imagen de \( L \) se obtiene aplicando \( L \) a una base del dominio y encontrando el conjunto de vectores generados. Para ello, observamos que la matriz \( L \) dada es de rango completo (rango 2), por lo que \(\text{Im}(L) = \mathbb{R}^2\) y una base es simplemente la base canónica de \(\mathbb{R}^2\):

\[
\text{Base de Im}(L) = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}
\]

¿Necesitas más detalles sobre los cálculos? 

---

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se determina el núcleo de una transformación lineal?
2. ¿Qué relación hay entre el núcleo y la imagen de una transformación lineal?
3. ¿Qué es una base y cómo se encuentra para un subespacio vectorial?
4. ¿Qué significa que una transformación lineal sea de rango completo?
5. ¿Cuál es la importancia del rango en una transformación lineal?
6. ¿Cómo afecta el cambio de base a la representación de una transformación lineal?
7. ¿Qué es una base canónica en un espacio vectorial?
8. ¿Cómo se verifica que un conjunto de vectores es una base?

**Tip:** En problemas de transformaciones lineales, verificar la dimensionalidad y la independencia lineal de vectores es crucial para encontrar bases correctamente.

Explore the solution to a linear transformation problem involving the determination of null space (nuc(L)) and image space (Im(L)). Learn how to find bases for both spaces with detailed step-by-step calculations.

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