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indicame si la pregunta es relacion o funcion, el dominio y el rango y el tipo de funcion.

La expresión que has proporcionado es \( f(x) = -3 + \sqrt{x^2 - 4} \). Vamos a analizarla:

### 1. ¿Es una relación o una función?
Esta expresión es una **función**. Como en el caso anterior, cada valor de \(x\) se asocia con un único valor de \(f(x)\), lo que cumple con la definición de una función.

### 2. Dominio de la función:
El dominio de esta función está determinado por el contenido dentro de la raíz cuadrada \( \sqrt{x^2 - 4} \). Dado que la raíz cuadrada solo está definida para números no negativos, debemos tener:

\[
x^2 - 4 \geq 0
\]

Resolviendo esta desigualdad:

\[
x^2 \geq 4
\]

Esto implica que:

\[
x \leq -2 \quad \text{o} \quad x \geq 2
\]

Por lo tanto, el dominio de la función es:

\[
\text{Dominio: } (-\infty, -2] \cup [2, \infty)
\]

### 3. Rango de la función:
Para encontrar el rango, consideremos que \( \sqrt{x^2 - 4} \) es siempre no negativo (\( \geq 0 \)). Entonces, el valor mínimo de la raíz es 0, lo que ocurre cuando \( x = \pm 2 \). El valor mínimo de la función \( f(x) \) ocurre cuando la raíz es 0, es decir, \( f(x) = -3 + 0 = -3 \).

A medida que \( |x| \) crece, \( \sqrt{x^2 - 4} \) aumenta sin límite, por lo que el valor de \( f(x) \) también aumenta sin límite superior.

Entonces, el rango es:

\[
\text{Rango: } [-3, \infty)
\]

### 4. Tipo de función:
Esta función es una **función raíz cuadrada desplazada** debido al término \( \sqrt{x^2 - 4} \) y al desplazamiento vertical de -3.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

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1. ¿Cómo se grafica una función con raíz cuadrada como \( f(x) = -3 + \sqrt{x^2 - 4} \)?
2. ¿Cómo afecta el desplazamiento vertical (-3) al gráfico de la función?
3. ¿Qué sucede con la función \( f(x) = -3 + \sqrt{x^2 - 4} \) en los puntos extremos del dominio \( x = -2 \) y \( x = 2 \)?
4. ¿Cómo se calcula la derivada de esta función y qué información proporciona?
5. ¿Cómo se comporta la función cuando \( x \) tiende a infinito?

### Tip:
Recuerda que las funciones que incluyen raíces cuadradas suelen tener restricciones en su dominio debido a la necesidad de que el radicando sea no negativo.

Explore the function f(x) = -3 + sqrt(x^2 - 4) in detail, including its nature as a square root function, domain (-∞, -2] ∪ [2, ∞), and range [-3, ∞). Learn how the vertical displacement affects its graph and more. Suitable for high school students.

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