Si el dominio de la función f(x)=x2−bx+2−−−−−−−−−√
 es (−∞,1]∪[2,∞)
. Cuál es el valor de b
 ?

Para determinar el valor de \( b \) tal que el dominio de la función \( f(x) = \sqrt{x^2 - bx + 2} \) sea \( (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \), debemos asegurarnos de que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea no negativa (es decir, mayor o igual a cero) en ese dominio.

### 1. **Condición de no negatividad**:
Para que la función \( f(x) \) esté definida, necesitamos que:
\[
x^2 - bx + 2 \geq 0
\]
Esta desigualdad debe cumplirse en los intervalos \( (-\infty, 1] \) y \( [2, \infty) \).

### 2. **Determinación de la expresión cuadrática**:
El trinomio cuadrático \( x^2 - bx + 2 \) será mayor o igual a cero fuera del intervalo entre sus raíces reales (si existen). Para encontrar estas raíces, usamos la fórmula general:
\[
x = \frac{-(-b) \pm \sqrt{(-b)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}
\]
Simplificando:
\[
x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 8}}{2}
\]

### 3. **Condición para el dominio dado**:
Queremos que las raíces de \( x^2 - bx + 2 = 0 \) se encuentren exactamente en \( x = 1 \) y \( x = 2 \). Para que esto ocurra, las raíces deben ser \( 1 \) y \( 2 \). Así que:

\[
x_1 = 1 \quad \text{y} \quad x_2 = 2
\]

Las raíces de un trinomio cuadrático \( ax^2 + bx + c = 0 \) también se pueden expresar como:
\[
x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \quad \text{y} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}
\]

En nuestro caso, \( a = 1 \) y \( c = 2 \), por lo tanto:
\[
1 + 2 = \frac{-b}{1} \implies b = -3
\]

### 4. **Verificación**:
Con \( b = -3 \), las raíces de \( x^2 - (-3)x + 2 = x^2 + 3x + 2 \) son:
\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2}
\]
Lo cual da raíces:
\[
x = -1 \quad \text{y} \quad x = -2
\]
Esto contradice el intervalo dado, por lo que el valor correcto de \( b \) que satisface el dominio es \( \boxed{3} \).

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¿Te gustaría más detalles sobre estos pasos o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el dominio de una función con raíces cuadradas?
2. ¿Qué métodos existen para resolver desigualdades cuadráticas?
3. ¿Qué sucede si el discriminante de un trinomio cuadrático es negativo?
4. ¿Cómo afectan las raíces de una función cuadrática al dominio de una función?
5. ¿Qué interpretaciones geométricas pueden derivarse de una función cuadrática?

**Tip:** La ubicación de las raíces de una función cuadrática determina en qué intervalos la función es positiva o negativa, lo cual es clave al analizar el dominio de funciones bajo una raíz cuadrada.

Discover how to determine the value of b in the function f(x) = sqrt(x^2 - bx + 2) with a domain of (-∞, 1] ∪ [2, ∞). This problem involves solving quadratic inequalities and analyzing the conditions under which the function is defined. Suitable for high school students.

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