crear el conjunto de numeros que puede representar

Para crear el conjunto de números que se puede representar con una computadora de 13 bits donde:
- 1 bit es para el signo,
- 5 bits son para el exponente,
- 7 bits son para la mantisa,

debemos considerar cómo se codifican estos elementos en la representación de punto flotante.

### Componentes de la representación

1. **Bit de signo (1 bit):** Puede ser 0 (positivo) o 1 (negativo).
2. **Exponente (5 bits):** Va desde \(-15\) a \(16\) como calculamos anteriormente.
3. **Mantisa (7 bits):** Es un número fraccionario binario que, en la mayoría de los casos, se normaliza (el primer dígito significativo es 1 y no se almacena, es decir, se asume que es 1.xxxxxxx en binario).

### Paso 1: Rango de los exponentes

El exponente sesgado va de \( -15 \) a \( 16 \), lo que significa que el exponente real \( E \) varía entre:

\[
E_{\text{min}} = -15 \quad \text{y} \quad E_{\text{max}} = 16
\]

### Paso 2: Mantisa

La mantisa tiene 7 bits, lo que significa que puede tomar valores desde \( 0 \) hasta \( 2^7 - 1 \). Sin embargo, la mantisa se normaliza para que esté en el rango \( 1 \leq M < 2 \) (en binario). Con 7 bits, la precisión es limitada, y se puede expresar como:

\[
M = 1 + \frac{b_1}{2} + \frac{b_2}{2^2} + \dots + \frac{b_7}{2^7}
\]

### Paso 3: Fórmula general

El número representado en la computadora es de la forma:

\[
N = (-1)^S \times M \times 2^E
\]

donde:
- \( S \) es el bit de signo.
- \( M \) es la mantisa.
- \( E \) es el exponente real.

### Paso 4: Rango de números

El valor más pequeño positivo (excluyendo el 0) ocurre cuando \( S = 0 \), \( E = -15 \) y la mantisa es la menor posible \( M = 1.0000000 \).

\[
\text{Número mínimo positivo} = 1.0000000_2 \times 2^{-15} = 2^{-15} \approx 3.0517578125 \times 10^{-5}
\]

El valor más grande ocurre cuando \( S = 0 \), \( E = 16 \) y la mantisa es la máxima posible \( M = 1.1111111 \):

\[
\text{Número máximo} = 1.1111111_2 \times 2^{16} \approx 1.9921875 \times 2^{16} = 130560
\]

El conjunto de números que se puede representar incluye:

1. Números entre \( 2^{-15} \) y \( 1.9921875 \times 2^{16} \) (aproximadamente 3.0517578125 \(\times\) 10\(^-5\) a 130560).
2. Negativos de esos mismos valores.
3. El valor \( 0 \) (aunque, en realidad, el \( 0 \) se representa de manera especial).

### Conclusión

El conjunto de números representables incluye todos los valores entre \(-130560\) y \(130560\) con la precisión determinada por los 7 bits de mantisa, junto con el número \(0\).

¿Te gustaría más detalles sobre cómo se forman estos números o cómo se representan en binario?

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Preguntas adicionales que podrías considerar:

1. ¿Cómo se maneja la representación de cero en punto flotante?
2. ¿Qué es la desnormalización en punto flotante y cuándo ocurre?
3. ¿Cómo afectan los bits de mantisa adicionales a la precisión de los números representados?
4. ¿Qué diferencia existe entre precisión simple y precisión doble en punto flotante?
5. ¿Cómo se representan los números especiales, como infinito o NaN, en punto flotante?

**Tip:** Los números que caen fuera del rango representable en punto flotante generalmente se redondean al valor más cercano o se indican como desbordamiento (overflow).

Explore how computers represent numbers using a 13-bit floating point format. Learn about sign bits, exponent ranges, and mantissa precision. Includes examples of smallest and largest representable numbers.

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