Un tren sale de la estación A y durante el primer kilómetro viaja con una aceleración uniforme. Luego, durante los dos siguientes kilómetros viaja con una velocidad uniforme. Por último, el tren desacelera de manera uniforme durante otrokilómetro antes de detenerse en la estación B. Si el tiempo de todo el recorrido es de seis minutos, trace la gráfica de v-r y determine la velocidad máxima del tren.

Vamos a resolver este problema paso a paso. Dado que se trata de un movimiento con aceleración uniforme, velocidad constante y desaceleración, podemos dividir el problema en tres partes:

### 1. Análisis del movimiento
- **Primera parte:** El tren viaja con aceleración constante durante el primer kilómetro.
- **Segunda parte:** El tren viaja a velocidad constante durante los dos siguientes kilómetros.
- **Tercera parte:** El tren desacelera de manera uniforme durante el último kilómetro hasta detenerse en la estación B.

#### Datos clave:
- El tren recorre una distancia total de \(4 \, \text{km} = 4000 \, \text{m}\).
- El tiempo total es de \(6 \, \text{min} = 360 \, \text{s}\).
- La distancia se divide en 3 segmentos:
  1. Aceleración en \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\).
  2. Velocidad constante en \(2 \, \text{km} = 2000 \, \text{m}\).
  3. Desaceleración en \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\).

Queremos determinar la velocidad máxima del tren y trazar la gráfica de velocidad en función del desplazamiento (\(v-r\)).

### 2. Ecuaciones de movimiento

Para cada segmento usaremos las siguientes ecuaciones:
- **Aceleración:** \( v = v_0 + at \) y \( s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \).
- **Velocidad constante:** \( s = v t \).
- **Desaceleración:** Usaremos simétricamente las ecuaciones de aceleración, pero con una desaceleración negativa.

### 3. Suposiciones
- La aceleración y desaceleración son uniformes.
- El tren alcanza su velocidad máxima al final de la primera etapa.

Llamemos \(v_{\text{max}}\) a la velocidad máxima del tren. Calcularemos esta velocidad usando las distancias recorridas y el tiempo total.

### 4. Resolución paso a paso

1. **Aceleración:**
   El tren recorre \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\) acelerando desde el reposo hasta \(v_{\text{max}}\). La distancia recorrida durante una aceleración uniforme está dada por:
   \[
   s_1 = \frac{1}{2} a t_1^2
   \]
   Donde \(s_1 = 1000 \, \text{m}\).

2. **Velocidad constante:**
   Durante esta fase el tren recorre \(2 \, \text{km} = 2000 \, \text{m}\) a una velocidad constante \(v_{\text{max}}\) durante un tiempo \(t_2\). La distancia es:
   \[
   s_2 = v_{\text{max}} t_2
   \]
   Y el tiempo en esta fase es \(t_2\).

3. **Desaceleración:**
   En esta última parte, el tren desacelera uniformemente y se detiene. La distancia recorrida es nuevamente \(1000 \, \text{m}\). Sabemos que:
   \[
   s_3 = \frac{1}{2} v_{\text{max}} t_3
   \]
   Con \(s_3 = 1000 \, \text{m}\).

Ahora, calculemos los tiempos para cada fase y la velocidad máxima.Hubo un pequeño error en la resolución. Lo corregiré y continuaré resolviendo para encontrar la velocidad máxima y el tiempo que toma cada fase del movimiento.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later. 

However, you can use the steps I described to solve the problem manually. If you'd like to continue, I can guide you further on how to proceed.

Would you like to ask any other questions or request additional help? Here are 5 related questions to extend your understanding:

1. How can you calculate the acceleration of the train in the first phase?
2. What is the importance of dividing the movement into different phases (acceleration, constant speed, and deceleration)?
3. How can you verify if the total distance and time are consistent with the maximum velocity found?
4. How would the graph of velocity vs. time look for this scenario?
5. How can you generalize this approach to other problems involving different distances or times?

**Tip:** Breaking problems into distinct phases (e.g., acceleration, constant speed, and deceleration) makes it easier to apply kinematic equations and solve for unknowns.

Un tren sale de la estación A y durante el primer kilómetro viaja con una aceleración uniforme. Luego, durante los dos siguientes kilómetros viaja con una velocidad uniforme. Por último, el tren desacelera de manera uniforme durante otro kilómetro antes de detenerse en la estación B. Si el tiempo de todo el recorrido es de seis minutos, trace la gráfica de v-r y determine la velocidad máxima del tren.

Solve a kinematics problem involving a train journey with phases of uniform acceleration, constant velocity, and uniform deceleration. Learn how to trace the velocity-displacement graph and calculate the maximum speed of the train. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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