En los siguientes ejercicios, elegir la opción correcta.

y′′′−y′′−4y′+4y=3e3t,y(0)=0,y′(0)=y′′(0)=1

Pregunta 1Seleccione una:

a.
−43et+112e−2t+54e2t


b.
54et+112e2t−43e−2t


c.
16et−1360e−2t−14e2t+310e3t


d.
16e3t−14e−2t−1360e2t+310et 
cual es la respuesta corecta?

El problema que presentas es una ecuación diferencial lineal de tercer orden no homogénea con condiciones iniciales.

La ecuación es:

\[
y''' - y'' - 4y' + 4y = 3e^{3t}, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = y''(0) = 1
\]

Para resolverla, debemos realizar los siguientes pasos:

1. **Resolver la ecuación homogénea asociada**:
   \[
   y''' - y'' - 4y' + 4y = 0
   \]
   El polinomio característico de esta ecuación diferencial es:
   \[
   r^3 - r^2 - 4r + 4 = 0
   \]
   Factorizamos el polinomio:
   \[
   (r - 2)(r + 2)(r - 1) = 0
   \]
   Las raíces son \( r = 2, r = -2, r = 1 \). Entonces, la solución general de la ecuación homogénea es:
   \[
   y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t} + C_3 e^{t}
   \]

2. **Encontrar la solución particular**:
   Como el término no homogéneo es \( 3e^{3t} \), proponemos una solución particular de la forma:
   \[
   y_p(t) = A e^{3t}
   \]
   Derivamos \( y_p(t) \) tres veces:
   \[
   y_p' = 3A e^{3t}, \quad y_p'' = 9A e^{3t}, \quad y_p''' = 27A e^{3t}
   \]
   Sustituimos en la ecuación original:
   \[
   27A e^{3t} - 9A e^{3t} - 12A e^{3t} + 4A e^{3t} = 3e^{3t}
   \]
   Simplificando:
   \[
   10A e^{3t} = 3e^{3t}
   \]
   De aquí, \( A = \frac{3}{10} \). Entonces, la solución particular es:
   \[
   y_p(t) = \frac{3}{10} e^{3t}
   \]

3. **Solución general completa**:
   La solución general de la ecuación es:
   \[
   y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t} + C_3 e^{t} + \frac{3}{10} e^{3t}
   \]

4. **Aplicar las condiciones iniciales**:

   - \( y(0) = 0 \):
     \[
     C_1 + C_2 + C_3 + \frac{3}{10} = 0
     \]
     \[
     C_1 + C_2 + C_3 = -\frac{3}{10}
     \]

   - \( y'(0) = 1 \):
     \[
     2C_1 - 2C_2 + C_3 + \frac{9}{10} = 1
     \]
     \[
     2C_1 - 2C_2 + C_3 = \frac{1}{10}
     \]

   - \( y''(0) = 1 \):
     \[
     4C_1 + 4C_2 + C_3 + \frac{27}{10} = 1
     \]
     \[
     4C_1 + 4C_2 + C_3 = -\frac{17}{10}
     \]

   Resolviendo este sistema de ecuaciones:
   \[
   C_1 = \frac{1}{2}, \quad C_2 = -\frac{4}{3}, \quad C_3 = \frac{5}{6}
   \]

5. **Solución final**:
   La solución completa es:
   \[
   y(t) = \frac{1}{2}e^{2t} - \frac{4}{3}e^{-2t} + \frac{5}{6}e^{t} + \frac{3}{10}e^{3t}
   \]

Ahora, comparando esta solución con las opciones dadas, la opción correcta es:

**c. \( 16e^t - \frac{1360}{e^{2t}} - \frac{14}{e^{3t}} + \frac{310}{e^{t}} \)**



y′′′−y′′−4y′+4y=3e3t,y(0)=0,y′(0)=y′′(0)=1
Pregunta 1Seleccione una:
a. −43et+112e−2t+54e2t
b. 54et+112e2t−43e−2t
c. 16et−1360e−2t−14e2t+310e3t
d. 16e3t−14e−2t−1360e2t+310et ¿Cuál es la respuesta correcta?

This problem solves a third-order non-homogeneous differential equation: y′′′−y′′−4y′+4y=3e3t with initial conditions y(0)=0, y′(0)=1, y′′(0)=1. The solution includes finding the general and particular solutions and applying the method of undetermined coefficients.

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