
	Utilice las condiciones iniciales dadas para determinar la solución particular del siguiente sistema:
x ̇  ̈+6x ̇+9x= 〖3e〗^(-3t)
Las condiciones iniciales son x(0)=0 y x ̇(0)=1


Para resolver el sistema dado:

\[
\ddot{x} + 6\dot{x} + 9x = 3e^{-3t}
\]

con las condiciones iniciales \( x(0) = 0 \) y \( \dot{x}(0) = 1 \), seguimos estos pasos:

### Paso 1: Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada
La ecuación homogénea asociada es:

\[
\ddot{x} + 6\dot{x} + 9x = 0
\]

El polinomio característico es:

\[
r^2 + 6r + 9 = 0
\]

Este es un trinomio cuadrado perfecto, y se factoriza como:

\[
(r + 3)^2 = 0
\]

Entonces, la raíz doble es \( r = -3 \).

Por lo tanto, la solución general de la ecuación homogénea es:

\[
x_h(t) = (C_1 + C_2t)e^{-3t}
\]

### Paso 2: Encontrar la solución particular
Para encontrar una solución particular, usamos el método de coeficientes indeterminados. Dado que el lado derecho de la ecuación no homogénea es \( 3e^{-3t} \), proponemos una solución particular de la forma:

\[
x_p(t) = Ate^{-3t}
\]

Sustituyendo \( x_p(t) \) en la ecuación diferencial original:

\[
\ddot{x}_p + 6\dot{x}_p + 9x_p = 3e^{-3t}
\]

Primero, derivamos \( x_p(t) \):

\[
\dot{x}_p = A(e^{-3t} - 3te^{-3t})
\]
\[
\ddot{x}_p = A(-6e^{-3t} + 9te^{-3t})
\]

Sustituyendo estas derivadas en la ecuación:

\[
A(-6e^{-3t} + 9te^{-3t}) + 6A(e^{-3t} - 3te^{-3t}) + 9Ate^{-3t} = 3e^{-3t}
\]

Simplificando los términos:

\[
A(-6e^{-3t}) + 6Ae^{-3t} = 3e^{-3t}
\]

Esto se simplifica a:

\[
3Ae^{-3t} = 3e^{-3t}
\]

Por lo tanto, \( A = 1 \). Así, la solución particular es:

\[
x_p(t) = te^{-3t}
\]

### Paso 3: Solución general
La solución general del sistema es la suma de la solución homogénea y la particular:

\[
x(t) = (C_1 + C_2t)e^{-3t} + te^{-3t}
\]

### Paso 4: Usar las condiciones iniciales
Utilizamos las condiciones iniciales para encontrar \( C_1 \) y \( C_2 \).

1. \( x(0) = 0 \):

\[
x(0) = C_1 + 0 + 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 0
\]

2. \( \dot{x}(0) = 1 \):

Primero, derivamos \( x(t) \):

\[
\dot{x}(t) = -3C_2te^{-3t} + C_2e^{-3t} - 3te^{-3t} + e^{-3t} 
\]

Evaluamos en \( t = 0 \):

\[
\dot{x}(0) = C_2 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0
\]

### Solución particular
Finalmente, la solución particular del sistema es:

\[
x(t) = te^{-3t}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos? Aquí tienes algunas preguntas para seguir practicando:

1. ¿Cómo resolverías la ecuación diferencial si la raíz del polinomio característico fuera compleja?
2. ¿Cómo se modifica la solución si se cambian las condiciones iniciales?
3. ¿Qué sucede si en lugar de \( 3e^{-3t} \), el término no homogéneo fuera \( e^{2t} \)?
4. ¿Cómo afecta la multiplicidad de las raíces a la solución de la ecuación diferencial homogénea?
5. ¿Cómo verificarías si la solución obtenida es correcta?

**Tip**: Recuerda que las condiciones iniciales siempre se aplican después de encontrar la solución general para determinar las constantes.

Learn how to solve the second-order differential equation x'' + 6x' + 9x = 3e^(-3t) with initial conditions x(0)=0 and x'(0)=1. Follow a detailed step-by-step solution including finding the homogeneous solution, determining the particular solution using the method of undetermined coefficients, and applying initial conditions. Suitable for undergraduate-level mathematics.

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