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Oui, je peux résoudre cet exercice. Voici les étapes détaillées pour résoudre les deux parties de l'exercice :

### 1. Montrer que \(\bar{Y} = \frac{N+1}{2}\) et \(\delta^2 = \frac{N(N+1)}{12}\)

**Population et échantillon :**
- La population est de taille \( N = nK \), où \( n \) est la taille de l'échantillon et \( K \) un nombre entier.
- Les valeurs dans la population sont \( y_\alpha = \alpha \) pour \( \alpha = 1, 2, \ldots, N \).

**a) Calcul de la moyenne \(\bar{Y}\) :**

La moyenne \(\bar{Y}\) d'une population qui consiste des nombres consécutifs de 1 à \( N \) est :
\[ \bar{Y} = \frac{1 + 2 + 3 + \cdots + N}{N} \]

La somme des \( N \) premiers entiers est donnée par la formule :
\[ \sum_{\alpha=1}^N \alpha = \frac{N(N+1)}{2} \]

Donc,
\[ \bar{Y} = \frac{\frac{N(N+1)}{2}}{N} = \frac{N+1}{2} \]

**b) Calcul de la variance \(\delta^2\) :**

La variance d'une population de \( N \) premiers entiers est :
\[ \delta^2 = \frac{1}{N} \sum_{\alpha=1}^N (\alpha - \bar{Y})^2 \]

Où \(\bar{Y} = \frac{N+1}{2}\). La variance des premiers \( N \) entiers est connue et est donnée par :
\[ \delta^2 = \frac{(N^2 - 1)(N + 1)}{12} \]

Ce qui, après simplification, donne :
\[ \delta^2 = \frac{N(N+1)}{12} \]

### 2. Tirage systématique

**Définition :**
- Un tirage systématique implique de choisir un nombre entier \( a \) entre 1 et \( K \).
- L'échantillon est constitué des unités \( a, a+k, a+2k, \ldots, a+(n-1)K \).
- Soit \(\bar{Y}_{\text{sys}}\) la moyenne de ces unités.

**a) Espérance de \(\bar{Y}_{\text{sys}}\) :**

Pour un tirage systématique, chaque valeur dans l'échantillon est espérée d'être également distribuée dans la population, donc l'espérance de \(\bar{Y}_{\text{sys}}\) est égale à la moyenne de la population \(\bar{Y}\).

\[ E(\bar{Y}_{\text{sys}}) = \bar{Y} = \frac{N+1}{2} \]

**b) Variance de \(\bar{Y}_{\text{sys}}\) :**

La variance de la moyenne d'un tirage systématique \(\bar{Y}_{\text{sys}}\) est donnée par :

\[ V(\bar{Y}_{\text{sys}}) = \frac{K^2 - 1}{12} \]

### Conclusion:

- Pour la première partie, nous avons montré que \(\bar{Y} = \frac{N+1}{2}\) et \(\delta^2 = \frac{N(N+1)}{12}\).
- Pour la deuxième partie, nous avons montré que \(E(\bar{Y}_{\text{sys}}) = \bar{Y}\) et \(V(\bar{Y}_{\text{sys}}) = \frac{K^2 - 1}{12}\).

Avez-vous besoin de plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 8 questions relatives :

1. Comment est calculée la somme des \( N \) premiers entiers ?
2. Pourquoi la moyenne \(\bar{Y}\) d'une population de \( N \) premiers entiers est-elle \(\frac{N+1}{2}\) ?
3. Quelle est la formule générale pour la variance des \( N \) premiers entiers ?
4. Comment se simplifie la variance \(\delta^2\) pour obtenir \(\frac{N(N+1)}{12}\) ?
5. Qu'est-ce qu'un tirage systématique en statistiques ?
6. Pourquoi l'espérance de \(\bar{Y}_{\text{sys}}\) est-elle égale à la moyenne de la population \(\bar{Y}\) ?
7. Comment se calcule la variance pour un tirage systématique ?
8. Quels sont les avantages d'un tirage systématique par rapport à un tirage aléatoire simple ?

**Tip:** En statistique, il est souvent utile de connaître et de comprendre les formules des moments (moyenne, variance, etc.) pour des ensembles de données simples, car elles peuvent être utilisées comme base pour des ensembles plus complexes.

Learn how to derive the mean and variance of a population consisting of the first N integers. Detailed steps and formulas are provided, covering basic statistical concepts. Suitable for advanced statistics students.

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