Dados X={75,72,87,78,79,87,79,83,78,87,86,87,88,83,87}.
a) Monte a tabela de frequência e de frequência acumulada
b) Calcule a média, a mediana, a moda, o desvio mediano e o desvio médio
c) Calcule a variância e o desvio padrão

Vamos resolver cada uma das partes do problema com os dados fornecidos.

### a) Tabela de Frequência e Frequência Acumulada

**Dados:** \(X = \{75, 72, 87, 78, 79, 87, 79, 83, 78, 87, 86, 87, 88, 83, 87\}\)

1. **Tabela de Frequência:**

Vamos contar quantas vezes cada valor aparece.

| Valor (X) | Frequência (f) |
|-----------|----------------|
| 72        | 1              |
| 75        | 1              |
| 78        | 2              |
| 79        | 2              |
| 83        | 2              |
| 86        | 1              |
| 87        | 5              |
| 88        | 1              |

2. **Frequência Acumulada:**

Vamos calcular a frequência acumulada somando as frequências dos valores anteriores.

| Valor (X) | Frequência (f) | Frequência Acumulada (F) |
|-----------|----------------|--------------------------|
| 72        | 1              | 1                        |
| 75        | 1              | 2                        |
| 78        | 2              | 4                        |
| 79        | 2              | 6                        |
| 83        | 2              | 8                        |
| 86        | 1              | 9                        |
| 87        | 5              | 14                       |
| 88        | 1              | 15                       |

### b) Cálculo da Média, Mediana, Moda, Desvio Mediano e Desvio Médio

Vamos calcular cada uma dessas medidas:

1. **Média (\(\bar{X}\)):**

A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de valores.

\[
\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{75 + 72 + 87 + 78 + 79 + 87 + 79 + 83 + 78 + 87 + 86 + 87 + 88 + 83 + 87}{15}
\]

Vamos calcular a média:

\[
\bar{X} = \frac{1168}{15} \approx 77.87
\]

2. **Mediana:**

Para encontrar a mediana, devemos ordenar os dados e encontrar o valor central. Como temos 15 valores (um número ímpar), a mediana será o oitavo valor após a ordenação.

**Dados ordenados:** \( \{72, 75, 78, 78, 79, 79, 83, 83, 86, 87, 87, 87, 87, 87, 88\} \)

A **mediana** é 83.

3. **Moda:**

A moda é o valor que aparece com maior frequência. O valor 87 aparece 5 vezes, mais do que qualquer outro valor.

A **moda** é 87.

4. **Desvio Mediano:**

O desvio mediano é a mediana dos desvios absolutos em relação à mediana.

Vamos calcular os desvios absolutos em relação à mediana (83):

\[
\{|72-83|, |75-83|, |78-83|, |78-83|, |79-83|, |79-83|, |83-83|, |83-83|, |86-83|, |87-83|, |87-83|, |87-83|, |87-83|, |87-83|, |88-83|\}
\]

\[
\{11, 8, 5, 5, 4, 4, 0, 0, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5\}
\]

Ordenando os desvios: \(\{0, 0, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 8, 11\}\)

A **mediana** dos desvios é 4.

5. **Desvio Médio:**

O desvio médio é a média dos desvios absolutos em relação à média.

\[
\text{Desvio Médio} = \frac{\sum |X - \bar{X}|}{n}
\]

Calculando os desvios absolutos:

\[
\{|75 - 77.87|, |72 - 77.87|, |87 - 77.87|, |78 - 77.87|, |79 - 77.87|, |87 - 77.87|, |79 - 77.87|, |83 - 77.87|, |78 - 77.87|, |87 - 77.87|, |86 - 77.87|, |87 - 77.87|, |88 - 77.87|, |83 - 77.87|, |87 - 77.87|\}
\]

\[
\{2.87, 5.87, 9.13, 0.13, 1.13, 9.13, 1.13, 5.13, 0.13, 9.13, 8.13, 9.13, 10.13, 5.13, 9.13\}
\]

Calculando a soma dos desvios absolutos:

\[
\sum |X - \bar{X}| = 85
\]

Portanto, o desvio médio é:

\[
\text{Desvio Médio} = \frac{85}{15} \approx 5.67
\]

### c) Variância e Desvio Padrão

1. **Variância (\(\sigma^2\)):**

A variância é a média dos quadrados dos desvios da média.

\[
\sigma^2 = \frac{\sum (X - \bar{X})^2}{n}
\]

Calculando os desvios ao quadrado:

\[
\{(75 - 77.87)^2, (72 - 77.87)^2, (87 - 77.87)^2, (78 - 77.87)^2, (79 - 77.87)^2, (87 - 77.87)^2, (79 - 77.87)^2, (83 - 77.87)^2, (78 - 77.87)^2, (87 - 77.87)^2, (86 - 77.87)^2, (87 - 77.87)^2, (88 - 77.87)^2, (83 - 77.87)^2, (87 - 77.87)^2\}
\]

\[
\{8.23, 34.47, 83.41, 0.02, 1.28, 83.41, 1.28, 26.31, 0.02, 83.41, 66.24, 83.41, 103.24, 26.31, 83.41\}
\]

Calculando a soma dos quadrados dos desvios:

\[
\sum (X - \bar{X})^2 = 679.45
\]

A variância é:

\[
\sigma^2 = \frac{679.45}{15} \approx 45.30
\]

2. **Desvio Padrão (\(\sigma\)):**

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

\[
\sigma = \sqrt{45.30} \approx 6.73
\]

### Resumo dos Resultados:

- **Média**: \(77.87\)
- **Mediana**: \(83\)
- **Moda**: \(87\)
- **Desvio Mediano**: \(4\)
- **Desvio Médio**: \(5.67\)
- **Variância**: \(45.30\)
- **Desvio Padrão**: \(6.73\)

Posso te ajudar com mais alguma coisa sobre esse assunto? 

#### Perguntas Relacionadas:

1. Como o desvio padrão é utilizado para entender a dispersão dos dados?
2. Qual é a diferença entre a variância e o desvio padrão?
3. Como interpretar a moda em um conjunto de dados que possui múltiplas modas?
4. Quais são as propriedades de uma distribuição simétrica em termos de média, mediana e moda?
5. Quando o desvio mediano é uma medida mais robusta que o desvio médio?

**Dica:** O desvio padrão é uma medida importante para entender a variabilidade de um conjunto de dados, mas lembre-se de que ele é sensível a valores extremos (outliers).

Learn how to calculate descriptive statistics including mean, median, mode, variance, and standard deviation using a dataset. This problem explores statistical concepts with a detailed step-by-step solution. Suitable for undergraduate students and anyone interested in statistics.

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