### 4. Simplification de la variance \(\delta^2\) pour obtenir \(\frac{N(N+1)}{12}\)

Pour calculer la variance d'une population des premiers \( N \) entiers, nous devons comprendre quelques concepts clés. La variance d'une série de nombres est une mesure de leur dispersion autour de la moyenne. La formule de la variance est donnée par :

\[ \delta^2 = \frac{1}{N} \sum_{\alpha=1}^N (\alpha - \bar{Y})^2 \]

#### Étapes de la simplification

1. **Calcul de la moyenne (\(\bar{Y}\)) :**
   \[
   \bar{Y} = \frac{1 + 2 + 3 + \cdots + N}{N} = \frac{\frac{N(N+1)}{2}}{N} = \frac{N+1}{2}
   \]

2. **Calcul des écarts au carré (\((\alpha - \bar{Y})^2\)) :**

   Chaque valeur de \(\alpha\) est un entier entre 1 et \( N \). La différence entre \(\alpha\) et la moyenne \(\bar{Y}\) est \(\alpha - \frac{N+1}{2}\).

3. **Formule de la somme des carrés :**

   Pour trouver la variance, nous devons calculer la somme des carrés des différences entre chaque \(\alpha\) et la moyenne \(\bar{Y}\) :
   \[
   \sum_{\alpha=1}^N (\alpha - \bar{Y})^2 = \sum_{\alpha=1}^N \left(\alpha - \frac{N+1}{2}\right)^2
   \]

   Développons cette expression :
   \[
   \left(\alpha - \frac{N+1}{2}\right)^2 = \alpha^2 - (N+1)\alpha + \left(\frac{N+1}{2}\right)^2
   \]

   Nous devons maintenant sommer ces termes de \(\alpha = 1\) à \(\alpha = N\) :
   \[
   \sum_{\alpha=1}^N \alpha^2 - \sum_{\alpha=1}^N (N+1)\alpha + \sum_{\alpha=1}^N \left(\frac{N+1}{2}\right)^2
   \]

4. **Calcul de chaque somme séparément :**

   - La somme des carrés des premiers \( N \) entiers est :
     \[
     \sum_{\alpha=1}^N \alpha^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}
     \]

   - La somme des premiers \( N \) entiers est :
     \[
     \sum_{\alpha=1}^N \alpha = \frac{N(N+1)}{2}
     \]

   - Le terme constant \(\left(\frac{N+1}{2}\right)^2\) répété \( N \) fois :
     \[
     N \left(\frac{N+1}{2}\right)^2 = N \cdot \frac{(N+1)^2}{4} = \frac{N(N+1)^2}{4}
     \]

5. **Substitution des sommes :**

   En substituant ces sommes dans l'expression originale :
   \[
   \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} - (N+1) \cdot \frac{N(N+1)}{2} + \frac{N(N+1)^2}{4}
   \]

6. **Simplification :**

   Pour simplifier, nous devons mettre tous les termes sur un dénominateur commun (12) :
   \[
   \frac{2N(N+1)(2N+1)}{12} - \frac{6N(N+1)(N+1)}{12} + \frac{3N(N+1)^2}{12}
   \]

   Combinons les termes :
   \[
   \frac{2N(N+1)(2N+1) - 6N(N+1) + 3N(N+1)^2}{12}
   \]

   Simplifions l'expression :
   \[
   \frac{2N(N+1)(2N+1) - 3N(N+1)(N+1)}{12} = \frac{N(N+1)(2(2N+1) - 3(N+1))}{12}
   \]
   \[
   = \frac{N(N+1)(4N + 2 - 3N - 3)}{12} = \frac{N(N+1)(N - 1)}{12}
   \]

   Ce qui simplifie finalement à :
   \[
   \delta^2 = \frac{N(N+1)}{12}
   \]

### Conclusion :

La variance \(\delta^2\) de la population des premiers \( N \) entiers est bien \(\frac{N(N+1)}{12}\).

Avez-vous besoin de plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 8 questions relatives :

1. Pourquoi est-il important de calculer la variance d'une population ?
2. Comment la somme des carrés des écarts à la moyenne aide-t-elle à mesurer la dispersion ?
3. Quelle est la signification de chaque terme dans l'expression de la variance ?
4. Pourquoi avons-nous utilisé un dénominateur commun pour simplifier les termes de la variance ?
5. Comment la variance change-t-elle en fonction de la taille de la population \( N \) ?
6. Quels sont les avantages d'utiliser une formule fermée pour la variance plutôt que de calculer chaque terme individuellement ?
7. Dans quelles autres situations pourrait-on utiliser cette formule de la variance ?
8. Comment la formule de la variance des premiers \( N \) entiers pourrait-elle être appliquée à d'autres ensembles de données ?

**Tip:** En simplifiant des expressions mathématiques complexes, il est souvent utile de travailler étape par étape et de vérifier chaque étape pour éviter des erreurs et garantir l'exactitude.

Learn how to simplify the variance formula for the first N integers to \( \frac{N(N+1)}{12} \). This problem involves advanced mathematical concepts including variance, summation, and simplification of mathematical expressions.

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