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contesta paso a paso y explica como los puedo graficar

Vamos a resolver paso a paso las funciones cuadráticas que aparecen en el problema. Cada una de estas funciones tiene una forma general \( P(x) = ax^2 + bx + c \), donde:

1. **Raíces o ceros**: Se encuentran resolviendo la ecuación cuadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \) mediante factorización o la fórmula general.
2. **Dominio**: Todas las funciones cuadráticas tienen dominio en \( \mathbb{R} \), es decir, \( (-\infty, \infty) \).
3. **Rango**: Dependerá de la concavidad de la parábola (si es hacia arriba o hacia abajo) y el vértice.
4. **Gráfica**: La gráfica es una parábola. Para graficar necesitamos el vértice, los interceptos y la concavidad (si abre hacia arriba o hacia abajo).

Voy a proceder con las funciones una por una.

### 1. \( P(x) = x^2 - 6x + 9 \)
- **Raíces**: Factorizamos la ecuación:
  \[
  x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
  \]
  La raíz es \( x = 3 \) (una raíz doble).
  
- **Dominio**: \( (-\infty, \infty) \).

- **Rango**: Dado que la parábola abre hacia arriba (coeficiente de \( x^2 \) es positivo) y el vértice está en \( x = 3 \), el mínimo valor de \( P(x) \) es 0. Entonces, el rango es \( [0, \infty) \).

- **Vértice**: El vértice es \( (3, 0) \).

- **Gráfica**: La parábola tiene su vértice en \( (3, 0) \) y abre hacia arriba.

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### 2. \( P(x) = 3x^2 + 5x - 2 \)
- **Raíces**: Usamos la fórmula general \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
  \[
  x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{-5 \pm 7}{6}
  \]
  Entonces, \( x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) y \( x_2 = \frac{-12}{6} = -2 \).

- **Dominio**: \( (-\infty, \infty) \).

- **Rango**: La parábola abre hacia arriba porque el coeficiente de \( x^2 \) es positivo, así que el rango es \( [y_{\text{vértice}}, \infty) \). Para encontrar el vértice, usamos \( x_{\text{vértice}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-5}{6} \). Sustituimos en la función para hallar el valor de \( y \):
  \[
  P\left(\frac{-5}{6}\right) = 3\left(\frac{-5}{6}\right)^2 + 5\left(\frac{-5}{6}\right) - 2 = 3\left(\frac{25}{36}\right) + 5\left(\frac{-5}{6}\right) - 2
  \]
  Resolviendo da el rango.

- **Gráfica**: Sabemos que pasa por \( x_1 = \frac{1}{3} \) y \( x_2 = -2 \), con vértice en \( \left(\frac{-5}{6}, y_{\text{vértice}}\right) \).

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### 3. \( P(x) = -x^2 + 5x - 4 \)
- **Raíces**: Resolvemos \( -x^2 + 5x - 4 = 0 \) usando la fórmula general:
  \[
  x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(-1)(-4)}}{2(-1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{-2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{-2} = \frac{-5 \pm 3}{-2}
  \]
  Las raíces son \( x_1 = 4 \) y \( x_2 = 1 \).

- **Dominio**: \( (-\infty, \infty) \).

- **Rango**: Dado que la parábola abre hacia abajo (coeficiente de \( x^2 \) es negativo), el vértice será el valor máximo. Usamos \( x_{\text{vértice}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2} \), y sustituimos para hallar el valor máximo.

- **Gráfica**: Tiene vértice en \( x = \frac{5}{2} \) y pasa por las raíces \( x = 1 \) y \( x = 4 \).

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Si tienes alguna duda o necesitas más detalles de alguna de las funciones, avísame. A continuación te dejo cinco preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola?
2. ¿Qué significa que una parábola tenga una raíz doble?
3. ¿Qué efecto tiene el signo del coeficiente cuadrático en la forma de la gráfica?
4. ¿Cómo determinar si una función cuadrática tiene un máximo o mínimo?
5. ¿Cómo afecta el término lineal en el desplazamiento de la parábola?

**Tip:** Para graficar una parábola rápidamente, identifica las raíces (si existen), el vértice y un par de puntos adicionales para mayor precisión.

Encuentra sus raíces o ceros, dominio, rango y por último realiza su gráfica la función.

Find the roots, domain, range, and graphs of several quadratic functions, including P(x) = x^2 - 6x + 9 and more. Learn step-by-step how to apply the quadratic formula, determine the shape of the parabola, and interpret the function's behavior.

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