Progresión geométrica

Ejercicios 1.
Una especie marítima se extingue a razón de 1
4
de su totalidad, cada año. Si actualmente en la región
se encuentran 40000 seres de esta especie, ¿cuántos seres marítimos de esa especie habrá en el
2030? ¿En caso de no cuidar a esta especie en qué año se extinguirán?

Para resolver este problema, vamos a modelar la situación utilizando una progresión geométrica. Dado que la especie marítima se extingue a razón de \( \frac{1}{4} \) (es decir, pierde un cuarto de su población) cada año, significa que cada año queda el \( \frac{3}{4} \) de la población del año anterior.

### Paso 1: Identificar los elementos de la progresión geométrica
- **Término inicial** (\(a_1\)) = 40,000 seres (población actual en 2024).
- **Razón** (\(r\)) = \( \frac{3}{4} \) = 0.75 (porque la población disminuye al \( \frac{3}{4} \) cada año).
- **Año final** = 2030, y queremos saber cuántos seres habrá en ese año.

### Paso 2: Determinar el número de años hasta 2030
El año actual es 2024, así que desde 2024 hasta 2030 hay:
\[
n = 2030 - 2024 = 6 \text{ años}
\]

### Paso 3: Aplicar la fórmula de la progresión geométrica
La fórmula para encontrar el término \(n\)-ésimo de una progresión geométrica es:
\[
a_n = a_1 \times r^{n-1}
\]
En este caso, necesitamos encontrar la población en el sexto año (2030):
\[
a_6 = 40,000 \times 0.75^{6}
\]

### Paso 4: Cálculo del término en 2030
Vamos a calcular \(a_6\):

\[
a_6 = 40,000 \times 0.75^6
\]

Calculamos esto:

\[
a_6 \approx 40,000 \times 0.17798 \approx 7119.36
\]

Entonces, en 2030 habrá aproximadamente 7,119 seres de esta especie en la región.

### Paso 5: Determinar el año de extinción
La extinción se da cuando la población se reduce a menos de 1 individuo. Entonces buscamos el año \(n\) donde la población \(a_n < 1\):

\[
40,000 \times 0.75^{n-1} < 1
\]

Esto se resuelve tomando logaritmos:

\[
\log(40,000) + (n-1) \log(0.75) < \log(1)
\]

\[
\log(40,000) + (n-1) \log(0.75) < 0
\]

Calculando los valores:

\[
\log(40,000) \approx 4.602
\]
\[
\log(0.75) \approx -0.125
\]

Resolviendo para \(n\):

\[
4.602 + (n-1)(-0.125) < 0
\]

\[
-0.125(n-1) < -4.602
\]

\[
n-1 > \frac{4.602}{0.125} \approx 36.816
\]

\[
n > 37.816
\]

Como \(n\) debe ser un número entero, la extinción ocurrirá alrededor del año 2024 + 38 = 2062.

### Resumen:

1. En el año 2030 habrá aproximadamente 7,119 seres de esta especie.
2. Si no se cuida, la especie se extinguirá aproximadamente en el año 2062.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular? Aquí tienes 5 preguntas adicionales que podrías considerar:

1. ¿Cómo se calcula la razón de una progresión geométrica en otros contextos?
2. ¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una geométrica?
3. ¿Cómo influye el valor de la razón en la rapidez con la que disminuye una población en una progresión geométrica?
4. ¿Cómo se pueden modelar otros fenómenos naturales usando progresiones geométricas?
5. ¿Qué métodos de conservación podrían alterar esta progresión y evitar la extinción?

**Tip:** En problemas de progresión geométrica, la razón (r) es crucial para determinar la tendencia de crecimiento o decrecimiento, y pequeños cambios en r pueden tener un gran impacto a largo plazo.

Explore a mathematical problem involving a species extinction rate modeled using geometric progression. Calculate the population of a marine species in 2030 and predict the extinction year if conservation efforts are not implemented. Learn the steps to solve geometric progression problems with detailed explanations.

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