	En los ejercicios del 1 a 5 Se dan las funciones f y F. compruebe, usando derivación, que F(x) es la primitiva más general de f(x). ¿Qué formula de integración puede deducirse en cada caso?
	f(x)=x^2/(1+x^3 );                                 F(x)=1/3  ln⁡(1+x^3 )+c
	f(x)=lnx;                                   F(x)=xlnx-x+c
	f(x)=x^3 lnx;                              F(x)=1/4 x^4 lnx-1/16 x^4+c
	f(x)=arctanx;                         F(x)=x.arctanx-ln√(1+x^2 )+c
	f(x)=1/(e^2x+4)                                F(x)=1/4 x-1/8  ln⁡(e^2x+4)+c 


Para comprobar que \( F(x) \) es la primitiva más general de \( f(x) \), necesitamos derivar \( F(x) \) y verificar que \( F'(x) = f(x) \). Esto nos permitirá deducir la fórmula de integración correspondiente a cada caso.

### 1. \( f(x) = \frac{x^2}{1+x^3} \); \( F(x) = \frac{1}{3} \ln(1 + x^3) + C \)

**Derivada de \( F(x) \):**
\[
F'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{3} \ln(1 + x^3) + C\right)
\]
Utilizamos la regla de la cadena:
\[
F'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1+x^3} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1+x^3} \cdot 3x^2 = \frac{x^2}{1+x^3} = f(x)
\]
**Fórmula de integración deducida:**
\[
\int \frac{x^2}{1+x^3} \, dx = \frac{1}{3} \ln(1 + x^3) + C
\]

### 2. \( f(x) = \ln(x) \); \( F(x) = x\ln(x) - x + C \)

**Derivada de \( F(x) \):**
\[
F'(x) = \frac{d}{dx} \left( x\ln(x) - x + C \right)
\]
Derivamos cada término por separado:
\[
F'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x) = f(x)
\]
**Fórmula de integración deducida:**
\[
\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - x + C
\]

### 3. \( f(x) = x^3 \ln(x) \); \( F(x) = \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{16} x^4 + C \)

**Derivada de \( F(x) \):**
\[
F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{16} x^4 + C \right)
\]
Derivamos cada término:
\[
F'(x) = \frac{1}{4} \left(4x^3 \ln(x) + x^4 \cdot \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{4}x^3 = x^3 \ln(x) + \frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{4}x^3 = x^3 \ln(x) = f(x)
\]
**Fórmula de integración deducida:**
\[
\int x^3 \ln(x) \, dx = \frac{1}{4} x^4 \ln(x) - \frac{1}{16} x^4 + C
\]

### 4. \( f(x) = \arctan(x) \); \( F(x) = x \arctan(x) - \ln\sqrt{1+x^2} + C \)

**Derivada de \( F(x) \):**
\[
F'(x) = \frac{d}{dx} \left( x \arctan(x) - \ln\sqrt{1+x^2} + C \right)
\]
Derivamos cada término:
\[
F'(x) = \arctan(x) + x \cdot \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot 2x = \arctan(x) = f(x)
\]
**Fórmula de integración deducida:**
\[
\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \ln\sqrt{1+x^2} + C
\]

### 5. \( f(x) = \frac{1}{e^{2x} + 4} \); \( F(x) = \frac{1}{4}x - \frac{1}{8} \ln(e^{2x} + 4) + C \)

**Derivada de \( F(x) \):**
\[
F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4}x - \frac{1}{8} \ln(e^{2x} + 4) + C \right)
\]
Derivamos cada término:
\[
F'(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e^{2x} + 4} \cdot 2e^{2x} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 4}
\]
Simplificamos:
\[
F'(x) = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 4} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{e^{2x} + 4} = \frac{1}{e^{2x} + 4} = f(x)
\]
**Fórmula de integración deducida:**
\[
\int \frac{1}{e^{2x} + 4} \, dx = \frac{1}{4}x - \frac{1}{8} \ln(e^{2x} + 4) + C
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre algún paso? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en la derivación de funciones compuestas?
2. ¿Qué diferencia existe entre una primitiva y una integral definida?
3. ¿Por qué es importante la constante de integración \( C \) en las primitivas?
4. ¿Cómo se podría verificar experimentalmente si una función es una primitiva de otra?
5. ¿Qué métodos alternativos existen para encontrar primitivas de funciones complejas?

**Tip:** Siempre revisa las reglas básicas de derivación antes de trabajar con primitivas complejas para asegurarte de no omitir ningún paso importante.

Learn how to verify that a given function is the most general antiderivative using differentiation. Deduce integration formulas for functions such as x^2/(1+x^3), ln(x), x^3 ln(x), arctan(x), and 1/(e^(2x) + 4). Understand the application of derivatives in calculus and the Fundamental Theorem of Calculus.

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