Cho P(x) có bậc 5 thoả mãn P(x) có 5 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức P(x) có ít nhất bao nhiêu hệ số khác 0

Đa thức \( P(x) \) có bậc 5 và có 5 nghiệm thực phân biệt. Theo định lý về đa thức với nghiệm thực, \( P(x) \) có thể được viết dưới dạng:

\[
P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)(x - x_5)
\]

Trong đó \( a \neq 0 \) là hằng số, và \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \) là 5 nghiệm thực phân biệt của đa thức. Khi khai triển dạng này của đa thức, ta sẽ thu được một đa thức bậc 5 có dạng tổng quát:

\[
P(x) = ax^5 + b x^4 + c x^3 + d x^2 + e x + f
\]

Trong đó, các hệ số \( a, b, c, d, e, f \) phụ thuộc vào các nghiệm \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \). Ở đây, vì \( P(x) \) có bậc 5, nên hệ số \( a \neq 0 \). 

Số lượng các hệ số khác 0 tối thiểu sẽ xuất hiện khi đa thức có dạng chuẩn tắc (tức là không có sự triệt tiêu giữa các hệ số trong quá trình khai triển). Điều này nghĩa là trong trường hợp tổng quát nhất, tất cả các hệ số \( a, b, c, d, e, f \) đều khác 0.

Do đó, đa thức \( P(x) \) có ít nhất **6 hệ số khác 0**.

---

Bạn có muốn giải thích chi tiết hơn về việc khai triển hoặc định lý nghiệm của đa thức không? 

Dưới đây là 5 câu hỏi mở rộng liên quan:
1. Điều gì xảy ra nếu \( P(x) \) có nghiệm bội?
2. Đa thức bậc 6 có thể có tối đa bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
3. Tại sao hệ số \( a \) không bao giờ bằng 0 trong đa thức bậc 5?
4. Làm thế nào để xác định nghiệm của đa thức khi biết các hệ số của nó?
5. Làm cách nào để rút gọn đa thức sau khi khai triển?

**Mẹo:** Khi làm việc với đa thức bậc cao, việc kiểm tra nghiệm qua hệ số và việc phân tích dạng tích có thể giúp giải quyết bài toán dễ dàng hơn.

Explore the polynomial P(x) of degree 5 with 5 distinct real roots and determine the minimum number of non-zero coefficients. Learn the fundamental theorem of algebra and its application in polynomial analysis. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation