Partie A
Le responsable d’un aquarium public constate qu’en l’absence d’action particulière la 
population d’une espèce de poisson augmente de 20 % par an.
Pour démarrer un nouveau bassin, il décide de prélever 28 poissons à la fin de chaque 
année.
La situation est modélisée par une suite (un) de terme initial u0 = 150, le terme un
donnant une estimation du nombre de poissons dans l’aquarium au 1er janvier 2024+n.
1) Justifier que, pour tout entier naturel n, : un+1 = 1,2un - 28.
2) Donner, à l’unité près, une estimation du nombre de poissons dans l’aquarium le 1er
janvier 2027.
3) On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un - 140
a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son 
premier terme v0.
b) Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n puis démontrer que : 
un = 10x1,2n
+ 140.
c) En utilisant le résultat précédent, montrer que, pour tout entier naturel n :
un+1 – un = 2×(1,2)
n
.
En déduire le sens de variation de la suite(un).
d) On admet que lim𝑛→∞
(𝑞)
𝑛 = + ∞ si 𝑞 > 1. Quelle est alors la limite de (un) ?

**Partie A : Modélisation de la population de poissons**

1) **Justification de la relation \( u_{n+1} = 1,2 u_n - 28 \) :**

Le problème indique que la population de poissons augmente naturellement de 20 % chaque année, ce qui signifie que la population est multipliée par 1,2. Ensuite, 28 poissons sont prélevés à la fin de chaque année. 

Si \( u_n \) est la population au début de l'année \( n \), alors à la fin de cette année, après une augmentation de 20 %, la population devient \( 1,2 u_n \). Puisque 28 poissons sont retirés, la population au début de l'année suivante, soit \( u_{n+1} \), est donnée par :
\[
u_{n+1} = 1,2 u_n - 28
\]
Ce qui justifie bien la relation demandée.

---

2) **Estimation du nombre de poissons au 1er janvier 2027 :**

Le terme \( u_n \) représente le nombre de poissons au 1er janvier de l'année \( 2024 + n \). Nous voulons donc calculer \( u_3 \), qui est le nombre de poissons au 1er janvier 2027 (car 2027 correspond à \( n = 3 \)).

Nous savons que :
- \( u_0 = 150 \) (population initiale au 1er janvier 2024),
- \( u_{n+1} = 1,2 u_n - 28 \).

Calculons \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \) :

- \( u_1 = 1,2 \times 150 - 28 = 180 - 28 = 152 \)
- \( u_2 = 1,2 \times 152 - 28 = 182,4 - 28 = 154,4 \)
- \( u_3 = 1,2 \times 154,4 - 28 = 185,28 - 28 = 157,28 \)

On peut arrondir à l'unité près, ce qui donne \( u_3 \approx 157 \).

Donc, le nombre estimé de poissons au 1er janvier 2027 est de **157 poissons**.

---

3) **Étude de la suite \( v_n = u_n - 140 \) :**

a) **Montrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique :**

Définissons \( v_n = u_n - 140 \). Nous avons la relation \( u_{n+1} = 1,2 u_n - 28 \). En substituant \( u_n = v_n + 140 \) dans cette relation, on obtient :

\[
u_{n+1} = 1,2 u_n - 28
\]
\[
v_{n+1} + 140 = 1,2(v_n + 140) - 28
\]
Développons le côté droit :
\[
v_{n+1} + 140 = 1,2 v_n + 1,2 \times 140 - 28
\]
\[
v_{n+1} + 140 = 1,2 v_n + 168 - 28
\]
\[
v_{n+1} + 140 = 1,2 v_n + 140
\]
En soustrayant 140 des deux côtés, il vient :
\[
v_{n+1} = 1,2 v_n
\]
Cela montre que \( (v_n) \) est une suite géométrique de raison \( 1,2 \).

Le premier terme \( v_0 \) est :
\[
v_0 = u_0 - 140 = 150 - 140 = 10
\]
Ainsi, \( v_n \) est une suite géométrique de raison \( 1,2 \) et de premier terme \( v_0 = 10 \).

---

b) **Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \) :**

Puisque \( (v_n) \) est une suite géométrique, nous avons la formule générale :
\[
v_n = v_0 \times (1,2)^n
\]
Donc :
\[
v_n = 10 \times (1,2)^n
\]

En substituant \( v_n = u_n - 140 \), on obtient :
\[
u_n = v_n + 140 = 10 \times (1,2)^n + 140
\]

Cela montre que \( u_n = 10 \times (1,2)^n + 140 \).

---

c) **Montrer que \( u_{n+1} - u_n = 2 \times (1,2)^n \) :**

En utilisant l'expression de \( u_n \) :
\[
u_{n+1} = 10 \times (1,2)^{n+1} + 140
\]
\[
u_{n+1} - u_n = \left( 10 \times (1,2)^{n+1} + 140 \right) - \left( 10 \times (1,2)^n + 140 \right)
\]
Les termes \( 140 \) se simplifient, il reste :
\[
u_{n+1} - u_n = 10 \times (1,2)^{n+1} - 10 \times (1,2)^n
\]
Factorisons \( 10 \times (1,2)^n \) :
\[
u_{n+1} - u_n = 10 \times (1,2)^n \left( 1,2 - 1 \right)
\]
\[
u_{n+1} - u_n = 10 \times (1,2)^n \times 0,2
\]
\[
u_{n+1} - u_n = 2 \times (1,2)^n
\]
Cela prouve bien que \( u_{n+1} - u_n = 2 \times (1,2)^n \).

---

**Sens de variation de la suite \( (u_n) \) :**

Comme \( 1,2 > 1 \), la suite \( (u_n) \) est strictement croissante.

---

d) **Limite de la suite \( (u_n) \) :**

Puisque \( 1,2 > 1 \), la suite \( v_n = 10 \times (1,2)^n \) tend vers \( +\infty \) quand \( n \) tend vers l'infini.

Par conséquent, la suite \( u_n = v_n + 140 \) tend également vers \( +\infty \) quand \( n \) tend vers l'infini.

Donc :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty
\]

---

### Questions supplémentaires :

1. Que se passe-t-il si le nombre de poissons prélevés par an augmente ?
2. Comment la suite évoluerait-elle si le taux de croissance annuel était inférieur à 20 % ?
3. Quelle serait la population de poissons après 10 ans si aucun poisson n'était prélevé ?
4. Comment interpréter graphiquement l'évolution de la population en fonction du temps ?
5. Peut-on déterminer après combien d'années la population dépassera un certain seuil ?

### Astuce :

Lorsque vous travaillez avec des suites géométriques, identifier rapidement la raison et le premier terme permet de simplifier de nombreux calculs !

Partie A
Le responsable d’un aquarium public constate qu’en l’absence d’action particulière la population d’une espèce de poisson augmente de 20 % par an.
Pour démarrer un nouveau bassin, il décide de prélever 28 poissons à la fin de chaque année.
La situation est modélisée par une suite (un) de terme initial u0 = 150, le terme un donnant une estimation du nombre de poissons dans l’aquarium au 1er janvier 2024+n.
1) Justifier que, pour tout entier naturel n, : un+1 = 1,2un - 28.
2) Donner, à l’unité près, une estimation du nombre de poissons dans l’aquarium le 1er janvier 2027.
3) On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un - 140
a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v0.
b) Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n puis démontrer que : un = 10x1,2n + 140.
c) En utilisant le résultat précédent, montrer que, pour tout entier naturel n : un+1 – un = 2×(1,2)^n.
En déduire le sens de variation de la suite(un).
d) On admet que lim𝑛→∞ (𝑞) 𝑛 = + ∞ si 𝑞 > 1. Quelle est alors la limite de (un) ?

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