Cho các số thực x,y thoả mãn: (x^2 + 1)(y^2 + 1) = 6(x+y). Tính x^4 + y^4

Đề bài yêu cầu tính \( x^4 + y^4 \) khi biết rằng hai số thực \( x, y \) thỏa mãn phương trình:

\[
(x^2 + 1)(y^2 + 1) = 6(x + y)
\]

### Bước 1: Đặt biến phụ
Đặt \( S = x + y \) (tổng) và \( P = xy \) (tích). Khi đó, ta có các đẳng thức sau:

- \( x^2 + y^2 = S^2 - 2P \)
- \( x^2y^2 = P^2 \)

Ta sẽ khai triển phương trình ban đầu để biểu diễn theo \( S \) và \( P \).

### Bước 2: Khai triển phương trình
Khai triển vế trái của phương trình:

\[
(x^2 + 1)(y^2 + 1) = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 = P^2 + (x^2 + y^2) + 1
\]

Thay \( x^2 + y^2 = S^2 - 2P \) vào, ta được:

\[
P^2 + (S^2 - 2P) + 1 = 6S
\]

Điều này dẫn đến:

\[
P^2 + S^2 - 2P + 1 = 6S
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Chuyển các hạng tử về một vế:

\[
P^2 + S^2 - 2P + 1 - 6S = 0
\]

Ta có phương trình sau:

\[
P^2 + S^2 - 2P - 6S + 1 = 0 \quad \text{(1)}
\]

### Bước 4: Tính \( x^4 + y^4 \)
Ta có công thức:

\[
x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2
\]

Sử dụng các biểu thức đã biết:

- \( x^2 + y^2 = S^2 - 2P \)
- \( (xy)^2 = P^2 \)

Do đó:

\[
x^4 + y^4 = (S^2 - 2P)^2 - 2P^2
\]

### Kết luận
Để tiếp tục, cần giải phương trình (1) để tìm giá trị cụ thể của \( S \) và \( P \), từ đó tính \( x^4 + y^4 \). Bạn có muốn mình giải tiếp phương trình này hoặc thử thay một phương pháp khác?

Learn how to calculate x^4 + y^4 from the equation (x^2 + 1)(y^2 + 1) = 6(x + y). This problem involves solving quadratic equations and applying algebraic identities. Suitable for high school students and above.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation