3) Quieres comprar en total 47 flores de tres tipos distintos: rosas, tulipanes y margaritas. Sabes que cada rosa cuesta 400 pesos, cada tulipán cuesta 300 pesos y cada margarita cuesta 200 pesos. También sabes que cada rosa tiene 20 pétalos, cada tulipán tiene 4 pétalos y cada margarita tiene 13 pétalos. Tienes un presupuesto de 14.600 pesos y quieres que el ramo tenga 643 pétalos en total. ¿Cuántas rosas, tulipanes y margaritas debes comprar para cumplir estas condiciones? Plantea un sistema de ecuaciones de 3x3 que represente el problema y resuélvelo por el método que prefieras.

Para resolver este problema, necesitamos plantear un sistema de ecuaciones que refleje las condiciones dadas. Vamos a definir las siguientes variables:

- \( x \): número de rosas
- \( y \): número de tulipanes
- \( z \): número de margaritas

Las condiciones del problema nos dan las siguientes ecuaciones:

1. **Condición del número total de flores:**
   \[
   x + y + z = 47
   \]

2. **Condición del presupuesto total:**
   \[
   400x + 300y + 200z = 14,600
   \]

3. **Condición del número total de pétalos:**
   \[
   20x + 4y + 13z = 643
   \]

Así que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\[
\begin{aligned}
1) & \quad x + y + z = 47 \\
2) & \quad 400x + 300y + 200z = 14,600 \\
3) & \quad 20x + 4y + 13z = 643
\end{aligned}
\]

Ahora, resolveremos este sistema.

Primero, simplifiquemos la segunda ecuación dividiéndola por 100:

\[
4x + 3y + 2z = 146
\]

Entonces el sistema de ecuaciones es:

\[
\begin{aligned}
1) & \quad x + y + z = 47 \\
2) & \quad 4x + 3y + 2z = 146 \\
3) & \quad 20x + 4y + 13z = 643
\end{aligned}
\]

Ahora, resolvamos este sistema usando el método de eliminación o sustitución.

### Paso 1: Eliminación de una variable

Primero, eliminemos \( z \) entre la primera y segunda ecuación. Multiplicamos la primera ecuación por 2:

\[
2x + 2y + 2z = 94
\]

Restamos esta ecuación de la segunda ecuación:

\[
(4x + 3y + 2z) - (2x + 2y + 2z) = 146 - 94
\]
\[
2x + y = 52 \quad \text{(Ecuación 4)}
\]

### Paso 2: Eliminación de otra variable

Ahora eliminemos \( z \) entre la primera y tercera ecuación. Multiplicamos la primera ecuación por 13:

\[
13x + 13y + 13z = 611
\]

Restamos esta ecuación de la tercera ecuación:

\[
(20x + 4y + 13z) - (13x + 13y + 13z) = 643 - 611
\]
\[
7x - 9y = 32 \quad \text{(Ecuación 5)}
\]

### Paso 3: Resolver el sistema reducido

Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas:

\[
\begin{aligned}
4) & \quad 2x + y = 52 \\
5) & \quad 7x - 9y = 32
\end{aligned}
\]

Podemos resolver estas dos ecuaciones por sustitución o eliminación. Multiplicamos la Ecuación 4 por 9 para eliminar \( y \):

\[
18x + 9y = 468
\]

Sumamos esta ecuación con la Ecuación 5:

\[
(18x + 9y) + (7x - 9y) = 468 + 32
\]
\[
25x = 500
\]
\[
x = 20
\]

Sustituimos \( x = 20 \) en la Ecuación 4:

\[
2(20) + y = 52
\]
\[
40 + y = 52
\]
\[
y = 12
\]

Finalmente, sustituimos \( x = 20 \) y \( y = 12 \) en la primera ecuación:

\[
20 + 12 + z = 47
\]
\[
z = 15
\]

### Solución Final

La solución es:
- \( x = 20 \) (rosas)
- \( y = 12 \) (tulipanes)
- \( z = 15 \) (margaritas)

Esto cumple con todas las condiciones del problema.

¿Quieres detalles adicionales o alguna aclaración sobre este procedimiento?

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales usando matrices?
2. ¿Qué es el método de sustitución y cómo se aplica en sistemas de ecuaciones?
3. ¿Qué otros métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
4. ¿Cómo afecta el cambio en el presupuesto a la solución de este problema?
5. ¿Qué sucede si se cambia el número total de pétalos requerido?

**Tip:** Siempre verifica tus soluciones sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales para asegurarte de que cumplen con todas las condiciones.

Learn how to solve a system of three linear equations involving the purchase of roses, tulips, and daisies. The problem includes constraints on total flowers, budget, and total petals. Suitable for advanced high school students and college-level algebra courses.

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