una parabola cuyo vertice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, pasa por el punto (-3,6). Hallar la ecuación de la parabola, las coordenadas del foco, ecuación de la directriz y el lado recto.

Dada una parábola cuyo vértice está en el origen \((0, 0)\) y cuyo eje coincide con el eje \(x\), podemos escribir la ecuación general de la parábola en la forma:

\[
y^2 = 4px
\]

Donde \(p\) es la distancia desde el vértice hasta el foco.

### Paso 1: Encontrar \(p\)

Sabemos que la parábola pasa por el punto \((-3, 6)\), por lo que podemos sustituir estas coordenadas en la ecuación de la parábola para encontrar el valor de \(p\):

\[
6^2 = 4p(-3)
\]

\[
36 = -12p
\]

\[
p = -3
\]

### Paso 2: Ecuación de la parábola

Sustituyendo \(p = -3\) en la ecuación general de la parábola:

\[
y^2 = -12x
\]

### Paso 3: Coordenadas del foco

El foco de la parábola se encuentra a una distancia \(p\) del vértice, en la dirección del eje \(x\). Como \(p = -3\), el foco tiene las coordenadas:

\[
F(3, 0)
\]

### Paso 4: Ecuación de la directriz

La directriz es una línea vertical a la misma distancia del vértice que el foco, pero en la dirección opuesta. Dado que \(p = -3\), la directriz es:

\[
x = -3
\]

### Paso 5: Longitud del lado recto

El lado recto es el segmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola, con una longitud igual a \(|4p|\). En este caso, \(|4p| = |4(-3)| = 12\).

### Resumen de los resultados

- **Ecuación de la parábola:** \(y^2 = -12x\)
- **Coordenadas del foco:** \(F(3, 0)\)
- **Ecuación de la directriz:** \(x = -3\)
- **Longitud del lado recto:** \(12\)

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el signo de \(p\) en la ecuación de la parábola?
2. ¿Cómo se encuentra la longitud del lado recto para una parábola?
3. ¿Cómo afectan los valores de \(p\) a la forma de la parábola?
4. ¿Qué diferencias hay entre una parábola horizontal y una vertical?
5. ¿Cómo influye la posición del vértice en la ecuación de la parábola?

**Tip:** En una parábola, el signo de \(p\) determina la dirección en la que se abre la parábola: si \(p > 0\), la parábola abre hacia la derecha (o hacia arriba en el caso de parábolas verticales); si \(p < 0\), la parábola abre hacia la izquierda (o hacia abajo).

Learn how to solve a parabola problem with the vertex at the origin and passing through a specific point (-3, 6). Find the parabola equation, focus coordinates, directrix equation, and the length of the latus rectum. This problem involves concepts of parabolas, quadratic equations, and geometric properties. Suitable for Grades 10-12.

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