Una parábola tiene su vértice en el origen y su eje coincide con el eje Y ¿Cuál es su ecuación si la parábola pasa por el punto A(4,–8)?

Dado que la parábola tiene su vértice en el origen y su eje coincide con el eje Y, su ecuación tiene la forma general:

\[
x^2 = 4py
\]

donde \( p \) es la distancia focal, es decir, la distancia del vértice al foco.

Sabemos que la parábola pasa por el punto \( A(4, -8) \). Para encontrar el valor de \( p \), sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación de la parábola.

Sustituyendo \( x = 4 \) y \( y = -8 \) en la ecuación \( x^2 = 4py \):

\[
4^2 = 4p(-8)
\]

\[
16 = -32p
\]

Despejamos \( p \):

\[
p = \frac{16}{-32} = -\frac{1}{2}
\]

Por lo tanto, la ecuación de la parábola es:

\[
x^2 = 4 \left( -\frac{1}{2} \right) y
\]

\[
x^2 = -2y
\]

Esta es la ecuación de la parábola que pasa por el punto \( A(4, -8) \).

¿Te gustaría más detalles sobre este procedimiento o alguna explicación adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo influye el valor de \( p \) en la forma y orientación de una parábola?
2. ¿Qué sucede si el vértice de la parábola no está en el origen?
3. ¿Cómo encontrar la ecuación de una parábola si se conoce su foco y su vértice?
4. ¿Qué diferencias hay entre una parábola con eje en el eje X y una con eje en el eje Y?
5. ¿Cómo se relaciona la distancia focal con la abertura de una parábola?

**Tip**: En una parábola, el valor de \( p \) determina tanto la orientación como la amplitud de la curva. Un \( p \) negativo implica que la parábola se abre hacia abajo (en el caso de un eje vertical).

Una parábola tiene su vértice en el origen y su eje coincide con el eje Y. ¿Cuál es su ecuación si la parábola pasa por el punto A(4,–8)?

Learn how to find the equation of a parabola with its vertex at the origin and axis along the Y-axis, passing through the point A(4, -8). This problem covers the standard form of the equation of a parabola and the method to determine the focal parameter p. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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