https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1724185285668a3l6k5n6.pdf

El documento contiene una serie de problemas matemáticos, principalmente integrales, ecuaciones diferenciales y problemas de crecimiento poblacional y decaimiento radiactivo. A continuación, resolveré uno de los problemas que has subido.

### Problema 1.a: Integral Impropria
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}
\]

**Solución:**

Primero, completamos el cuadrado en el denominador:

\[
x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1
\]

Así que la integral se convierte en:

\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x + 1)^2 + 1}
\]

Reconocemos que esta es la forma de la función arctangente:

\[
\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C
\]

En este caso, \(a = 1\), por lo que la integral se convierte en:

\[
\int \frac{dx}{(x + 1)^2 + 1} = \arctan(x + 1) + C
\]

Ahora evaluamos los límites de la integral impropia:

\[
\lim_{b \to +\infty} \arctan(b + 1) - \lim_{a \to -\infty} \arctan(a + 1)
\]

Sabemos que:

\[
\lim_{x \to +\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}
\]

Por lo tanto:

\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 2x + 2} = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi
\]

**Resultado**: \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^2 + 2x + 2} = \pi\)

¿Te gustaría que resuelva otro de los problemas? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelve una integral impropia de segundo tipo?
2. ¿Qué técnicas se pueden usar para evaluar integrales definidas?
3. ¿Qué es la arctangente y cómo se usa en cálculo?
4. ¿Qué es completar el cuadrado y en qué contextos se usa?
5. ¿Cómo se aplica el límite en integrales impropias?

**Tip**: Cuando trabajes con integrales impropias, asegúrate de evaluar los límites correctamente para evitar errores en la solución.

Learn how to solve the improper integral ∫(x^2 + 2x + 2)dx from -∞ to +∞ with a detailed step-by-step solution. This problem covers integral calculus, arctangent function, and limit evaluation. Suitable for advanced mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation