¿Cuál es el valor de la integral definida?

∫42(2sin(x)−cos(x))dx



a.
25.67


b.
2.14


c.
47.32


d.
1.85

Para encontrar el valor exacto de la integral definida

\[
\int_{2}^{4} (2 \sin(x) - \cos(x)) \, dx,
\]

hemos determinado que:

\[
\left[ -2 \cos(x) - \sin(x) \right]_2^4
\]

Evaluamos en los límites de integración \(x = 4\) y \(x = 2\):

\[
\left( -2 \cos(4) - \sin(4) \right) - \left( -2 \cos(2) - \sin(2) \right)
\]

Sustituyendo los valores numéricos aproximados:

\[
\cos(4) \approx -0.6536
\]
\[
\sin(4) \approx -0.7568
\]
\[
\cos(2) \approx -0.4161
\]
\[
\sin(2) \approx 0.9093
\]

Calculamos:

\[
-2(-0.6536) - (-0.7568) + 2(-0.4161) + 0.9093
\]

Simplificamos paso a paso:

\[
= 1.3072 + 0.7568 - 0.8322 + 0.9093
\]

\[
= 2.064 + 0.076
\]

\[
= 2.14
\]

Entonces, el valor de la integral definida es aproximadamente \(\boxed{2.14}\), lo que corresponde a la opción \(b\).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema? Aquí tienes algunas preguntas que podrías hacer:

1. ¿Cómo se derivan las funciones trigonométricas?
2. ¿Cuál es la diferencia entre una integral definida e indefinida?
3. ¿Cómo se utilizan las integrales en la física?
4. ¿Qué métodos numéricos existen para aproximar integrales?
5. ¿Cómo se resuelven integrales que involucran productos de funciones?

**Tip**: Para evaluar integrales definidas, siempre asegúrate de evaluar correctamente la función antiderivada en los límites superior e inferior, y simplificar los resultados paso a paso.

Learn how to evaluate the definite integral ∫42(2sin(x) - cos(x))dx using trigonometric identities and the definite integral formula. Step-by-step solution provided, including numerical approximations. Suitable for advanced high school and college students.

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