G8. Resuelva la ecuación 2sen𝑥+csc𝑥=3 tal que 0°≤𝑥≤360°. Indique como respuesta la suma de 
las soluciones.

Para resolver la ecuación \( 2\sin x + \csc x = 3 \) en el intervalo \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \), seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Expresar \( \csc x \) en términos de \( \sin x \)
Sabemos que:
\[
\csc x = \frac{1}{\sin x}
\]
Sustituyendo en la ecuación original:
\[
2\sin x + \frac{1}{\sin x} = 3
\]

### Paso 2: Multiplicar por \( \sin x \) para eliminar la fracción
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \( \sin x \) (suponiendo que \( \sin x \neq 0 \)):
\[
2\sin^2 x + 1 = 3\sin x
\]

### Paso 3: Reordenar la ecuación
Reordenamos la ecuación para que tenga la forma de una cuadrática:
\[
2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0
\]
Esta es una ecuación cuadrática en \( \sin x \).

### Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática
Usamos la fórmula cuadrática:
\[
\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Donde:
- \( a = 2 \)
- \( b = -3 \)
- \( c = 1 \)

Sustituyendo los valores:
\[
\sin x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)}
\]
\[
\sin x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}
\]
\[
\sin x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}
\]
\[
\sin x = \frac{3 \pm 1}{4}
\]
Por lo tanto, tenemos dos soluciones:
1. \( \sin x = \frac{3 + 1}{4} = 1 \)
2. \( \sin x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \)

### Paso 5: Encontrar los valores de \( x \) en el intervalo dado
Ahora resolvemos para \( x \) dentro del intervalo \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \):

1. Para \( \sin x = 1 \):
   - \( x = 90^\circ \) (ya que el seno es 1 en \( 90^\circ \))

2. Para \( \sin x = \frac{1}{2} \):
   - \( x = 30^\circ \) (en el primer cuadrante)
   - \( x = 150^\circ \) (en el segundo cuadrante)

### Paso 6: Sumar las soluciones
Las soluciones son \( x = 30^\circ \), \( 90^\circ \), y \( 150^\circ \). Sumamos estas soluciones:
\[
\text{Suma de las soluciones} = 30^\circ + 90^\circ + 150^\circ = 270^\circ
\]

### Respuesta final:
La suma de las soluciones es \( 270^\circ \).

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué sucede si el intervalo para \( x \) es diferente?
2. ¿Cómo se resolvería la ecuación si se considerara \( \sin x = 0 \)?
3. ¿Qué otros métodos podrían usarse para resolver esta ecuación?
4. ¿Cómo se relacionan las soluciones con los ángulos de referencia?
5. ¿Qué pasa si se cambia \( \csc x \) por \( \sec x \)?
6. ¿Cómo se puede verificar la solución de la ecuación?
7. ¿Qué ocurre si sumamos más de una vuelta completa (más de 360°) en las soluciones?
8. ¿Cómo influye el signo de los coeficientes en la resolución de la cuadrática?

### Tip:
Al resolver ecuaciones trigonométricas, es útil pensar en términos de ángulos de referencia y simetría en el círculo unitario para encontrar todas las soluciones posibles.

Learn how to solve the trigonometric equation 2sin(x) + csc(x) = 3 within the interval 0° to 360°. This problem involves using trigonometric identities and the quadratic formula. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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