Hallar todos los valores de 𝑥 ∈ ℝ tales que: 
𝑠𝑖𝑛3(𝑥) − cos (𝜋2− 𝑥) =𝑡𝑎𝑛(−5𝜋)

Para resolver la ecuación \( \sin^3(x) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(-5\pi) \), sigamos los siguientes pasos:

### Paso 1: Simplificación del término \( \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \)

Sabemos que:
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)
\]
Por lo tanto, la ecuación se convierte en:
\[
\sin^3(x) - \sin(x) = \tan(-5\pi)
\]

### Paso 2: Simplificación de \( \tan(-5\pi) \)

Sabemos que la tangente tiene un período de \( \pi \), por lo tanto:
\[
\tan(-5\pi) = \tan(0) = 0
\]

La ecuación ahora es:
\[
\sin^3(x) - \sin(x) = 0
\]

### Paso 3: Factorización

Podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación:
\[
\sin(x)(\sin^2(x) - 1) = 0
\]

Esto se puede descomponer aún más:
\[
\sin(x)(\sin(x) - 1)(\sin(x) + 1) = 0
\]

### Paso 4: Resolución de las ecuaciones factoradas

Esto nos da tres posibles ecuaciones:
1. \( \sin(x) = 0 \)
2. \( \sin(x) = 1 \)
3. \( \sin(x) = -1 \)

Ahora resolvemos cada una:

1. \( \sin(x) = 0 \)
   \[
   x = n\pi \quad \text{para} \quad n \in \mathbb{Z}
   \]

2. \( \sin(x) = 1 \)
   \[
   x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \quad \text{para} \quad n \in \mathbb{Z}
   \]

3. \( \sin(x) = -1 \)
   \[
   x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \quad \text{para} \quad n \in \mathbb{Z}
   \]

### Solución Final

Los valores de \( x \) que satisfacen la ecuación original son:

\[
x = n\pi, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \quad \text{para} \quad n \in \mathbb{Z}
\]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se demuestra que \( \tan(\theta) \) es periódica con periodo \( \pi \)?
2. ¿Qué propiedades trigonométricas permiten simplificar \( \cos(\frac{\pi}{2} - x) \) a \( \sin(x) \)?
3. ¿Cómo se resuelven ecuaciones trigonométricas en intervalos específicos?
4. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones trigonométricas como esta?
5. ¿Qué sucede si la ecuación involucra funciones trigonométricas más complejas?

### Consejo
Recuerda que para ecuaciones trigonométricas, identificar y usar las identidades trigonométricas adecuadas puede simplificar enormemente el proceso de resolución.

Learn how to solve the trigonometric equation sin^3(x) - cos(pi/2 - x) = tan(-5pi) step-by-step. This problem involves trigonometric identities and equations, suitable for advanced high school students and above.

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