Lors d'une offre promotionnelle, une patinoire propose à ses clients de faire tourner une roue pour gagner un bon de réduction sur la location de patins. On suppose qu'il y'a équiprobabilité. On interroge au hasard trois clients. Détermine la probabilité que au plus un des clients ait obtenu un bon

Pour déterminer la probabilité qu'**au plus un** des trois clients ait obtenu un bon de réduction, nous devons considérer les cas où 0 ou 1 client obtient un bon. Voici comment procéder :

### Étape 1 : Probabilité d'obtenir ou de ne pas obtenir un bon de réduction
Supposons, comme dans le cas précédent, que la probabilité pour un client d'obtenir un bon de réduction est \( p = \frac{m}{n} \) et la probabilité de ne pas obtenir un bon est \( q = 1 - p = \frac{n-m}{n} \).

### Étape 2 : Probabilité qu'aucun client n'obtienne un bon de réduction
La probabilité qu'aucun des trois clients n'obtienne un bon est :

\[
P(0) = q^3 = \left(\frac{n-m}{n}\right)^3
\]

### Étape 3 : Probabilité qu'un seul client obtienne un bon de réduction
Il y a 3 façons différentes pour un seul client sur trois d'obtenir un bon (premier, deuxième, ou troisième client), donc la probabilité que **exactement un** des trois clients obtienne un bon est :

\[
P(1) = \binom{3}{1} \cdot p \cdot q^2 = 3 \cdot p \cdot q^2 = 3 \cdot \frac{m}{n} \cdot \left(\frac{n-m}{n}\right)^2
\]

### Étape 4 : Probabilité que **au plus un** client obtienne un bon de réduction
La probabilité que **au plus un** client obtienne un bon est la somme des probabilités des cas où 0 ou 1 client obtient un bon :

\[
P(\text{au plus un bon}) = P(0) + P(1)
\]

Substituons les valeurs calculées précédemment :

\[
P(\text{au plus un bon}) = \left(\frac{n-m}{n}\right)^3 + 3 \cdot \frac{m}{n} \cdot \left(\frac{n-m}{n}\right)^2
\]

### Conclusion
La probabilité que **au plus un** des trois clients obtienne un bon de réduction est donnée par l'expression :

\[
P(\text{au plus un bon}) = \left(\frac{n-m}{n}\right)^3 + 3 \cdot \frac{m}{n} \cdot \left(\frac{n-m}{n}\right)^2
\]

Tu peux évaluer cette expression en fonction des valeurs spécifiques de \( m \) et \( n \).

---

**Souhaites-tu plus de détails ou as-tu d'autres questions?**

### Questions connexes :
1. Quelle est la probabilité que exactement deux clients obtiennent un bon de réduction?
2. Quelle est la probabilité que tous les trois clients obtiennent un bon de réduction?
3. Comment se calcule la probabilité qu'au moins deux clients obtiennent un bon?
4. Si \( m = \frac{n}{2} \), comment se simplifie l'expression de la probabilité d'au plus un bon?
5. Quelle serait la probabilité qu'au plus deux clients obtiennent un bon de réduction?

**Astuce :** Lorsqu'on travaille avec des combinaisons, comme dans les cas où exactement un ou deux événements se produisent, le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\) est essentiel pour compter les différentes configurations possibles.

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