5. Resuelve y halla lo que se indica:
a) En una progresión aritmética, a10 = 32 y d=5. Averigua el valor de a25
b) En una progresión aritmética a8 = 12 y a12 = 32. Calcula su diferencia y el
término general.
c) En una progresión aritmética, a1 = 7 y d=6. Averigua que posición ocupa el
valor 79.
d) En una progresión aritmética de 8 términos el primer y último término suman
21, y el tercer término es 6. Escribir la progresión.

### a) En una progresión aritmética, \( a_{10} = 32 \) y \( d = 5 \). Averigua el valor de \( a_{25} \).

La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
\]

Para encontrar \( a_1 \), usamos el dato \( a_{10} = 32 \):

\[
32 = a_1 + (10 - 1) \cdot 5
\]
\[
32 = a_1 + 9 \cdot 5
\]
\[
32 = a_1 + 45
\]
\[
a_1 = 32 - 45 = -13
\]

Ahora que tenemos \( a_1 \), podemos encontrar \( a_{25} \):

\[
a_{25} = a_1 + (25 - 1) \cdot d
\]
\[
a_{25} = -13 + (24) \cdot 5
\]
\[
a_{25} = -13 + 120 = 107
\]

Por lo tanto, \( a_{25} = 107 \).

---

### b) En una progresión aritmética \( a_8 = 12 \) y \( a_{12} = 32 \). Calcula su diferencia y el término general.

Usamos la fórmula del término general para dos términos:

\[
a_8 = a_1 + (8-1) \cdot d \quad \text{y} \quad a_{12} = a_1 + (12-1) \cdot d
\]
\[
12 = a_1 + 7d \quad \text{y} \quad 32 = a_1 + 11d
\]

Restamos ambas ecuaciones para eliminar \( a_1 \):

\[
(32 - 12) = (a_1 + 11d) - (a_1 + 7d)
\]
\[
20 = 4d \quad \Rightarrow \quad d = 5
\]

Sustituimos \( d = 5 \) en una de las ecuaciones para encontrar \( a_1 \):

\[
12 = a_1 + 7 \cdot 5
\]
\[
12 = a_1 + 35 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 12 - 35 = -23
\]

El término general es:

\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = -23 + (n-1) \cdot 5
\]

---

### c) En una progresión aritmética, \( a_1 = 7 \) y \( d = 6 \). Averigua qué posición ocupa el valor 79.

Usamos la fórmula del término general \( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \) para resolver \( n \):

\[
79 = 7 + (n-1) \cdot 6
\]
\[
79 - 7 = (n-1) \cdot 6
\]
\[
72 = (n-1) \cdot 6 \quad \Rightarrow \quad n - 1 = \frac{72}{6} = 12
\]
\[
n = 13
\]

El valor 79 ocupa la posición \( n = 13 \).

---

### d) En una progresión aritmética de 8 términos, el primer y último término suman 21, y el tercer término es 6. Escribir la progresión.

Denotamos los términos como \( a_1, a_2, a_3, \dots, a_8 \), y sabemos que:

\[
a_1 + a_8 = 21 \quad \text{y} \quad a_3 = 6
\]

También sabemos que:

\[
a_8 = a_1 + 7d \quad \text{y} \quad a_3 = a_1 + 2d
\]

Sustituimos \( a_8 \) en la primera ecuación:

\[
a_1 + (a_1 + 7d) = 21
\]
\[
2a_1 + 7d = 21 \quad \text{(1)}
\]

De la segunda ecuación tenemos:

\[
a_1 + 2d = 6 \quad \text{(2)}
\]

Resolvemos el sistema de ecuaciones. De (2):

\[
a_1 = 6 - 2d
\]

Sustituimos esto en (1):

\[
2(6 - 2d) + 7d = 21
\]
\[
12 - 4d + 7d = 21
\]
\[
12 + 3d = 21 \quad \Rightarrow \quad 3d = 9 \quad \Rightarrow \quad d = 3
\]

Sustituimos \( d = 3 \) en (2) para encontrar \( a_1 \):

\[
a_1 + 2 \cdot 3 = 6 \quad \Rightarrow \quad a_1 + 6 = 6 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 0
\]

Finalmente, la progresión es:

\[
a_1 = 0, \quad d = 3
\]
\[
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deduce la fórmula del término general de una progresión aritmética?
2. ¿Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones para encontrar \( a_1 \) y \( d \)?
3. ¿Cuál es la fórmula para la suma de los términos de una progresión aritmética?
4. ¿Cómo encontrar el término de una progresión aritmética cuando se conocen solo dos términos?
5. ¿Cómo se calculan los primeros términos de una progresión aritmética con \( a_n \) dado?

**Tip:** En una progresión aritmética, el valor de la diferencia \( d \) controla el crecimiento o decrecimiento de la secuencia.

5. Resuelve y halla lo que se indica: a) En una progresión aritmética, a10 = 32 y d=5. Averigua el valor de a25 b) En una progresión aritmética a8 = 12 y a12 = 32. Calcula su diferencia y el término general. c) En una progresión aritmética, a1 = 7 y d=6. Averigua que posición ocupa el valor 79. d) En una progresión aritmética de 8 términos el primer y último término suman 21, y el tercer término es 6. Escribir la progresión.

Learn how to solve arithmetic progression problems, including finding the general term, common difference, and writing sequences. This solution covers various scenarios involving progression properties, solving systems of equations, and applying key formulas. Suitable for students in Grades 8-10.

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