5. Con el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 resuelve (utiliza método de eliminación): 
{
 𝒙+𝟑𝒚+𝒛=𝟓
 𝒂𝒙+𝟐𝒛 =𝟎
 𝒂𝒚−𝒛=𝒂
 a. Calcula a de tal forma que el sistema tenga una única solución. Calcula la solución para a=1 
b. Calcula a de tal forma que el sistema tenga infinitas soluciones. 
c. Calcula a de tal forma que el sistema no tenga solución. 

Para resolver este sistema de ecuaciones, vamos a utilizar el **método de eliminación**. Primero, planteamos el sistema de ecuaciones:

\[
\begin{aligned}
1) & \quad x + 3y + z = 5 \\
2) & \quad ax + 2z = 0 \\
3) & \quad ay - z = a
\end{aligned}
\]

### a) Calcular \( a \) para que el sistema tenga una única solución y resolverlo cuando \( a = 1 \)

Para que un sistema de ecuaciones lineales tenga una única solución, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero.

1. **Matriz de coeficientes**:
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
a & 0 & 2 \\
0 & a & -1
\end{pmatrix}
\]

2. **Determinante de la matriz \( A \)**:
\[
\text{Det}(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}
0 & 2 \\
a & -1
\end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix}
a & 2 \\
0 & -1
\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
a & 0 \\
0 & a
\end{vmatrix}
\]
\[
\text{Det}(A) = 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 2 \cdot a) - 3 \cdot (a \cdot (-1) - 2 \cdot 0) + 1 \cdot (a \cdot a - 0 \cdot 0)
\]
\[
\text{Det}(A) = -2a + 3a + a^2 = a^2 + a - 2a = a^2 + a
\]

Para que el sistema tenga una única solución:
\[
\text{Det}(A) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a(a + 1) \neq 0
\]

Esto significa que \( a \neq 0 \) y \( a \neq -1 \).

Ahora, resolvemos el sistema para \( a = 1 \):

1. **Sustituir \( a = 1 \)** en el sistema:
\[
\begin{aligned}
1) & \quad x + 3y + z = 5 \\
2) & \quad x + 2z = 0 \\
3) & \quad y - z = 1
\end{aligned}
\]

2. **Eliminación**:
   - De la segunda ecuación: \( x = -2z \).
   - Sustituimos \( x = -2z \) en la primera ecuación:
   \[
   -2z + 3y + z = 5 \quad \Rightarrow \quad -z + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad z = 3y - 5
   \]
   - Sustituimos \( z = 3y - 5 \) en la tercera ecuación:
   \[
   y - (3y - 5) = 1 \quad \Rightarrow \quad y - 3y + 5 = 1 \quad \Rightarrow \quad -2y = -4 \quad \Rightarrow \quad y = 2
   \]
   - Finalmente, sustituimos \( y = 2 \) en \( z = 3y - 5 \):
   \[
   z = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1
   \]
   - Y para \( x \):
   \[
   x = -2z = -2(1) = -2
   \]

Por lo tanto, la solución es \( x = -2 \), \( y = 2 \), \( z = 1 \).

### b) Calcular \( a \) para que el sistema tenga infinitas soluciones

Para que el sistema tenga **infinitas soluciones**, el determinante de la matriz debe ser cero, pero los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz aumentada deben ser iguales.

Hemos encontrado que:
\[
a(a + 1) = 0
\]

Si \( a = 0 \) o \( a = -1 \), el determinante es cero. Ahora verificamos si con estos valores el sistema tiene infinitas soluciones.

1. **Para \( a = 0 \)**:
\[
\begin{aligned}
x + 3y + z &= 5 \\
0x + 2z &= 0 \quad \Rightarrow \quad z = 0 \\
0y - z &= 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0
\end{aligned}
\]

El sistema queda como:
\[
\begin{aligned}
x + 3y + 0 &= 5 \\
z &= 0
\end{aligned}
\]

El sistema tiene infinitas soluciones ya que no se determina un valor único para \( y \).

### c) Calcular \( a \) para que el sistema no tenga solución

Para que el sistema no tenga solución, el determinante debe ser cero, pero los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz aumentada deben ser diferentes.

1. **Para \( a = -1 \)**:
\[
\begin{aligned}
x + 3y + z &= 5 \\
-x + 2z &= 0 \\
-y - z &= -1
\end{aligned}
\]

El sistema queda como:
\[
\begin{aligned}
x + 3y + z &= 5 \quad (1) \\
-x + 2z &= 0 \quad (2) \\
-y - z &= -1 \quad (3)
\end{aligned}
\]

Sustituyendo \( z \) de la ecuación (3) en (1):
\[
z = -1 - y \quad \Rightarrow \quad x + 3y + (-1 - y) = 5 \quad \Rightarrow \quad x + 2y - 1 = 5
\]
\[
x + 2y = 6 \quad (4)
\]
Si sumamos (4) y (2):
\[
x + 2y = 6 \quad \text{y} \quad x + 2z = 0 \text{ dan diferentes resultados.}
\]
Esto significa que el sistema es **incompatible** y, por tanto, no tiene solución.

¿Tienes alguna pregunta o deseas más detalles?

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se utiliza la regla de Cramer en sistemas 3x3?
2. ¿Qué implica un determinante igual a cero en un sistema de ecuaciones lineales?
3. ¿Cómo se determina la compatibilidad de un sistema de ecuaciones?
4. ¿Qué es el rango de una matriz y cómo se calcula?
5. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

**Tip:** La regla de Cramer es útil para resolver sistemas pequeños y determinar si tienen solución, si es única o si hay infinitas soluciones.

Learn how to solve a 3x3 system of equations using the elimination method. This problem covers matrix operations, determinants, and Cramer's rule. Suitable for college-level students.

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