3) Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o 50º elemento?

4) Analise a sequência a seguir:
(3, 6, 12, 24, 48, 96...)
Podemos afirmar que essa sequência é:
A) uma progressão aritmética de razão 2
B) uma progressão aritmética de razão 3
C) uma progressão geométrica de razão 2
D) uma progressão geométrica de razão 3
E) uma progressão geométrica de razão 4
5) Uma progressão geométrica possui o primeiro termo igual a 5 e razão igual a 3. O 6º termo dessa progressão é?

6) Dada a sequência (-3, 9, -27, ...), que forma uma progressão geométrica, o sétimo termo dessa progressão é?

7) Durante a pandemia de covid-19, percebeu-se que o número de pessoas contaminadas aumentava como uma progressão geométrica de razão 1,5 em uma semana para a outra na cidade de Mozarlândia. Se em um determinado dia há 120 habitantes contaminados, supondo que a progressão seja mantida, na quarta semana o número de contaminados será igual a?

8) O número de bactérias de uma colônia dobra a cada dia que passa. Supondo que uma colônia tinha inicialmente 100 mil bactérias, o número de bactérias que haverá após 5 dias será de?

9) O termo geral da progressão (81, 27, 9, 3 ...) é?
10) O novo site de uma empresa foi inaugurado no primeiro dia do mês de dezembro e recebeu 3 acessos. No segundo dia teve 9 acessos, no terceiro dia, 27 acessos, e assim por diante. Em que dia de dezembro obteve 2187 acessos?




Vamos resolver cada questão uma por uma:

### 3) Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o 50º elemento?

A soma dos \( n \) primeiros termos de uma progressão aritmética (PA) é dada pela fórmula:
\[
S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)
\]
Onde:
- \( S_n \) é a soma dos \( n \) primeiros termos.
- \( a_1 \) é o primeiro termo.
- \( a_n \) é o enésimo termo.
- \( n \) é o número de termos.

Substituindo os valores dados na fórmula:
\[
6625 = \frac{50}{2} \times (a_1 + a_{50})
\]
\[
6625 = 25 \times (a_1 + a_{50})
\]
\[
a_1 + a_{50} = \frac{6625}{25} = 265
\]

Como a razão \( r \) é 5, sabemos que:
\[
a_{50} = a_1 + 49 \times 5 = a_1 + 245
\]

Substituindo na equação:
\[
a_1 + a_1 + 245 = 265
\]
\[
2a_1 = 20
\]
\[
a_1 = 10
\]

Agora, podemos encontrar o 50º termo:
\[
a_{50} = 10 + 245 = 255
\]

**Resposta:** O 50º termo é **255**.

### 4) Análise da sequência (3, 6, 12, 24, 48, 96...)

Para verificar se uma sequência é uma progressão aritmética (PA) ou geométrica (PG), verificamos a diferença ou razão entre os termos consecutivos.

Razão entre os termos:
\[
\frac{6}{3} = 2, \quad \frac{12}{6} = 2, \quad \frac{24}{12} = 2, \quad \frac{48}{24} = 2, \quad \frac{96}{48} = 2
\]

Como a razão é constante e maior que 1, a sequência é uma **progressão geométrica de razão 2**.

**Resposta:** **C) uma progressão geométrica de razão 2**

### 5) Uma progressão geométrica possui o primeiro termo igual a 5 e razão igual a 3. O 6º termo dessa progressão é?

O \( n \)-ésimo termo de uma PG é dado por:
\[
a_n = a_1 \times r^{n-1}
\]

Substituindo os valores:
\[
a_6 = 5 \times 3^{6-1} = 5 \times 3^5 = 5 \times 243 = 1215
\]

**Resposta:** O 6º termo é **1215**.

### 6) Dada a sequência (-3, 9, -27, ...), que forma uma progressão geométrica, o sétimo termo dessa progressão é?

Aqui, o primeiro termo \( a_1 = -3 \) e a razão \( r = \frac{9}{-3} = -3 \).

O 7º termo é:
\[
a_7 = a_1 \times r^{6} = -3 \times (-3)^6 = -3 \times 729 = -2187
\]

**Resposta:** O sétimo termo é **-2187**.

### 7) Progressão geométrica com razão 1,5 (pandemia):

Número de contaminados na 4ª semana:
\[
a_4 = 120 \times 1,5^{3} = 120 \times 3,375 = 405
\]

**Resposta:** Na quarta semana, o número de contaminados será **405**.

### 8) O número de bactérias que haverá após 5 dias:

Se dobra a cada dia, temos uma PG de razão 2 e \( a_1 = 100000 \).

Número de bactérias após 5 dias:
\[
a_5 = 100000 \times 2^{4} = 100000 \times 16 = 1600000
\]

**Resposta:** Haverá **1.600.000** bactérias após 5 dias.

### 9) Termo geral da progressão (81, 27, 9, 3 ...):

Essa sequência é uma PG, onde \( a_1 = 81 \) e \( r = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \).

O termo geral é:
\[
a_n = 81 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}
\]

**Resposta:** O termo geral é **\( a_n = 81 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \)**.

### 10) Número de acessos no site no 10º dia:

Essa é uma PG com \( a_1 = 3 \) e \( r = 3 \).

Número de acessos no dia em que houve 2187 acessos:
\[
a_n = 2187 = 3 \times 3^{n-1}
\]
\[
3^{n-1} = 729 \quad \text{(ou seja, \( n-1 = 6 \) e \( n = 7 \))}
\]

**Resposta:** No dia **7** de dezembro, houve **2187** acessos.

---

### **Quer mais detalhes ou tem alguma dúvida?**

### Perguntas relacionadas:
1. Como se calcula a soma dos termos de uma PG?
2. Qual é a fórmula do enésimo termo em uma PA?
3. Como identificar o tipo de uma sequência (PA ou PG)?
4. Como se calcula o termo geral de uma progressão geométrica?
5. Quais são as propriedades importantes de uma progressão aritmética?
6. Como resolver problemas envolvendo progressões aritméticas e geométricas no dia a dia?
7. O que acontece se a razão de uma PG for negativa?
8. Como a razão afeta a forma de uma PG ou PA?

### **Dica**: Em problemas de progressões, sempre determine primeiro se a sequência é aritmética ou geométrica, pois isso define a abordagem correta.

Encontre as respostas para problemas envolvendo progressões aritméticas (PA) e geométricas (PG). Inclui cálculos detalhados para a soma dos termos de uma PA, termo geral de uma PG, e mais. Indicado para estudantes do Ensino Médio.

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