A soma dos n primeiros termos de uma PA é x e a dos n seguintes é y. Calcular a razão.

Vamos resolver o problema utilizando as fórmulas da soma dos termos de uma Progressão Aritmética (PA).

### Fórmulas envolvidas:

A soma dos primeiros \(n\) termos de uma PA é dada por:

\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)r)
\]

Onde:
- \(S_n\) é a soma dos \(n\) primeiros termos,
- \(a_1\) é o primeiro termo,
- \(r\) é a razão da PA,
- \(n\) é o número de termos.

### Situação do problema:

- A soma dos **primeiros \(n\) termos** é \(x\),
- A soma dos **\(n\) termos seguintes** é \(y\).

Agora, vamos considerar os \(n\) seguintes termos como sendo uma PA iniciada no termo \(a_{n+1}\).

### Passo 1: Soma dos primeiros \(n\) termos (dada como \(x\)).

A fórmula para a soma \(S_n\) já foi dada:

\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)r) = x
\]

### Passo 2: Soma dos \(n\) termos seguintes (dada como \(y\)).

Os \(n\) termos seguintes começam no termo \(a_{n+1} = a_1 + nr\). Então, a soma desses \(n\) termos será:

\[
S_{n+1,n+2,\ldots,2n} = \frac{n}{2} \cdot (2a_{n+1} + (n-1)r)
\]

Substituindo \(a_{n+1} = a_1 + nr\):

\[
S_{n+1,n+2,\ldots,2n} = \frac{n}{2} \cdot \left( 2(a_1 + nr) + (n-1)r \right) = y
\]

Expandindo a expressão:

\[
S_{n+1,n+2,\ldots,2n} = \frac{n}{2} \cdot \left( 2a_1 + 2nr + (n-1)r \right) = y
\]

\[
S_{n+1,n+2,\ldots,2n} = \frac{n}{2} \cdot \left( 2a_1 + (3n-1)r \right) = y
\]

### Passo 3: Sistema de equações

Agora temos o seguinte sistema de equações:

1. \(\frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)r) = x\)
2. \(\frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (3n-1)r) = y\)

### Passo 4: Subtração das equações

Subtraindo a primeira equação da segunda:

\[
\frac{n}{2} \cdot \left( (2a_1 + (3n-1)r) - (2a_1 + (n-1)r) \right) = y - x
\]

Cancelando os termos semelhantes:

\[
\frac{n}{2} \cdot \left( (3n-1)r - (n-1)r \right) = y - x
\]

\[
\frac{n}{2} \cdot \left( 2nr \right) = y - x
\]

\[
n^2r = y - x
\]

### Passo 5: Encontrando a razão

Portanto, a razão \(r\) da PA é dada por:

\[
r = \frac{y - x}{n^2}
\]

### Resposta:

A razão da PA é \(r = \frac{y - x}{n^2}\).

---

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 questões relacionadas ao tema para expandir seu conhecimento:

1. Como determinar o número de termos de uma PA, conhecendo a razão e a soma?
2. Como encontrar o termo geral de uma PA?
3. Qual é a relação entre a razão e o termo médio de uma PA?
4. Como podemos calcular a soma de todos os termos de uma PA infinita?
5. Qual a diferença entre uma PA crescente e uma PA decrescente?

**Dica:** Sempre que você tiver a soma de termos consecutivos de uma PA, pode utilizar a estratégia de subtrair as somas para isolar a razão.

Aprenda a calcular a razão de uma Progressão Aritmética (PA) a partir da soma dos n primeiros termos e dos n seguintes. Utilizando fórmulas da PA e sistemas de equações, este exemplo detalhado é ideal para alunos do ensino médio (Grades 9-12).

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