第2步我们知道这个式子如何证明

在第2步中，我们使用了幂级数展开来表示分母的倒数，即

\[
\frac{1}{e^x - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}
\]

这个公式在数学上是一个标准的幂级数展开，可以通过几种方式证明。以下是其中一种常用的证明方法，基于几何级数的展开：

### 证明步骤

1. **几何级数展开**：

   对于任意的 \( |z| < 1 \)，我们有几何级数的展开公式：
   \[
   \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n
   \]

2. **代入 \( z = e^{-x} \)**：

   令 \( z = e^{-x} \)，由于 \( e^{-x} \) 对于 \( x > 0 \) 时满足 \( 0 < e^{-x} < 1 \)，所以几何级数公式适用：
   \[
   \frac{1}{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx}
   \]

3. **引入指数函数关系**：

   上式可以通过乘以 \( e^{-x} \) 来变换，得到：
   \[
   \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}
   \]

4. **变换为所需的形式**：

   注意到我们需要的式子是 \( \frac{1}{e^x - 1} \)，可以通过以下步骤实现：
   \[
   \frac{1}{e^x - 1} = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}
   \]

### 总结
我们通过几何级数展开并代入 \( z = e^{-x} \) 得到了所需的表达式：
\[
\frac{1}{e^x - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}
\]

---

需要进一步的解释或有其他问题吗？

### 相关问题
1. 还有哪些级数可以通过几何级数展开得到？
2. 指数函数和对数函数在级数展开中的应用是什么？
3. 如何验证幂级数展开的收敛性？
4. 通过级数展开可以如何计算某些特殊函数的近似值？
5. 幂级数在物理学中的应用有哪些？

### 小提示
掌握几何级数的展开对于理解和推导更多复杂的级数展开形式非常有帮助，这在分析中是一个常用的技巧。

Learn how to prove the series expansion formula step-by-step with detailed explanations. This problem involves series expansion using exponential functions and geometric series. Suitable for advanced mathematics students.

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