La **serie de Maclaurin** para una función \( f(x) \) es una expansión en torno a \( x = 0 \), de la forma:

\[
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \dots
\]

Para la función \( f(x) = e^{-x} \), la serie de Maclaurin se obtiene derivando \( f(x) \) repetidamente y evaluando en \( x = 0 \).

1. \( f(x) = e^{-x} \)
2. \( f'(x) = -e^{-x} \)
3. \( f''(x) = e^{-x} \)
4. \( f^{(3)}(x) = -e^{-x} \)
5. \( f^{(4)}(x) = e^{-x} \)
6. Y así sucesivamente...

En \( x = 0 \), todas las derivadas tienen valores alternantes de \( 1 \) y \( -1 \):

\[
f(0) = 1, \quad f'(0) = -1, \quad f''(0) = 1, \quad f^{(3)}(0) = -1, \quad f^{(4)}(0) = 1, \dots
\]

Por lo tanto, la serie de Maclaurin para \( e^{-x} \) es:

\[
e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^5}{5!} + \dots
\]

De forma general, la expansión es:

\[
e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se deriva una serie de Maclaurin para otras funciones?
2. ¿Cómo afecta el signo alternante en la convergencia de la serie?
3. ¿Cuál es la relación entre la serie de Maclaurin y la de Taylor?
4. ¿Qué aplicación tiene la serie de Maclaurin en la resolución de ecuaciones diferenciales?
5. ¿Cómo se comporta la serie de Maclaurin cuando \( x \to \infty \)?

**Tip**: Recuerda que las series de Taylor y Maclaurin son potentes herramientas para aproximar funciones complicadas mediante polinomios.

Discover the detailed steps to derive the Maclaurin series for the function e^-x. Learn about the series expansion, key formulas, and the alternating signs in this calculus problem. Ideal for students in Grades 11-12 looking to master series expansions.

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