As séries geométricas são formadas pela soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica. Elas podem ser convergentes ou divergentes, dependendo do valor da razão da progressão geométrica.

Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor do limite de s subscript n, sendo s subscript n equals sum from n equals 1 to infinity of space left parenthesis negative 2 right parenthesis to the power of n minus 1 end exponent over 3 to the power of n minus 2 end exponent para todo n natural.

	a.	
2 over 3

	b.	
0

	c.	
5 over 9

	d.	
9 over 5

	e.	
1



Para determinar se a série \( s_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n-2}} \) é convergente ou divergente e calcular o seu valor, precisamos primeiro identificar se ela é uma série geométrica e, em caso afirmativo, encontrar a razão comum.

### Identificando a Série

A série fornecida é:
\[
s_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n-2}}.
\]
Podemos reescrever o termo geral da série para entender melhor:
\[
\text{Termo geral: } a_n = \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n-2}} = (-2)^{n-1} \cdot 3^{2-n} = \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n-2}} = \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n}} \cdot 3^2 = \frac{9(-2)^{n-1}}{3^n}.
\]

No entanto, simplificando a expressão:
\[
a_n = \frac{(-2)^{n-1}}{3^{n-2}} = (-2)^{n-1} \cdot 3^{2-n}.
\]
Fatorando os termos:
\[
a_n = 9 \cdot \left(\frac{-2}{3}\right)^{n-1}.
\]

Aqui, podemos identificar que a série é geométrica com o primeiro termo \( a_1 = 9 \) e a razão comum \( r = \frac{-2}{3} \).

### Analisando a Convergência

Para uma série geométrica \( \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \), a série converge se \( |r| < 1 \).

Aqui, a razão \( r = \frac{-2}{3} \) tem módulo \( \left|\frac{-2}{3}\right| = \frac{2}{3} \), que é menor que 1. Portanto, a série converge.

### Calculando a Soma da Série

A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
\[
S = \frac{a_1}{1 - r},
\]
onde \( a_1 \) é o primeiro termo e \( r \) é a razão. Aqui:
\[
S = \frac{9}{1 - \left(\frac{-2}{3}\right)} = \frac{9}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{9}{\frac{5}{3}} = 9 \times \frac{3}{5} = \frac{27}{5} = \frac{9}{5}.
\]

### Conclusão

A soma da série \( s_n \) é \( \frac{9}{5} \).

Portanto, a alternativa correta é **d. \( \frac{9}{5} \)**.

---

**Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?**

**Questões Relacionadas:**

1. Qual é a condição necessária para a convergência de uma série geométrica?
2. Como determinar a soma de uma série geométrica com razão negativa?
3. O que acontece com a série se a razão for maior que 1 em módulo?
4. Qual é a diferença entre séries geométricas e séries aritméticas?
5. Como modificar a série para obter uma soma diferente?

**Dica:** Ao lidar com séries geométricas, sempre verifique se o módulo da razão é menor que 1 para garantir a convergência.

Explore the convergence and calculation of the sum of an infinite geometric series involving detailed analysis. Understand the conditions for convergence, calculate the sum, and verify the correctness with step-by-step explanations.

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