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Se supone que dicha expresion al simplificada debe cumplir con la siguiente expresion: Como logra dicha simplificacion entonces?

Gracias por compartir la expresión simplificada. La expresión final que obtuviste es:

\[
P(n) = \frac{16}{15} \left(3 + 2 \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1}\right).
\]

Vamos a analizar cómo la expresión simplificada que obtuvimos previamente:

\[
P(n) = \frac{16}{5} + \frac{4}{5} \left(\frac{8}{3}\right)^n
\]

se relaciona con esta nueva forma:

### Paso 1: Comparar las dos expresiones

La expresión que obtuvimos anteriormente fue:

\[
P(n) = \frac{16}{5} + \frac{4}{5} \left(\frac{8}{3}\right)^n.
\]

Necesitamos que esta coincida con la forma:

\[
P(n) = \frac{16}{15} \left(3 + 2 \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1}\right).
\]

### Paso 2: Expandir y reescribir la expresión dada

Para igualar las dos expresiones, expandimos la segunda expresión para ver cómo coincide:

\[
P(n) = \frac{16}{15} \left(3 + 2 \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1}\right) = \frac{16}{15} \cdot 3 + \frac{16}{15} \cdot 2 \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1}.
\]

Calculamos los términos constantes:

\[
\frac{16}{15} \cdot 3 = \frac{48}{15} = \frac{16}{5}.
\]

Luego, para el término con la potencia:

\[
\frac{16}{15} \cdot 2 \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1} = \frac{32}{15} \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1}.
\]

### Paso 3: Relacionar las potencias

Ahora observamos que la expresión que queremos igualar tiene \(\left(\frac{8}{3}\right)^n\), mientras que la nueva tiene \(\left(\frac{8}{3}\right)^{n-1}\).

Podemos reescribir \(\left(\frac{8}{3}\right)^n\) como:

\[
\left(\frac{8}{3}\right)^n = \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1} \cdot \frac{8}{3}.
\]

Sustituyendo esto en la expresión obtenida inicialmente, tenemos:

\[
P(n) = \frac{16}{5} + \frac{4}{5} \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1} \cdot \frac{8}{3}.
\]

Calculamos el término de la potencia:

\[
\frac{4}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{15}.
\]

Entonces, reescribimos \(P(n)\) como:

\[
P(n) = \frac{16}{5} + \frac{32}{15} \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1}.
\]

### Paso 4: Verificar la igualdad con la expresión simplificada

Notamos que ambas expresiones son iguales ahora:

\[
\frac{16}{5} + \frac{32}{15} \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1} = \frac{16}{15} \left(3 + 2 \left(\frac{8}{3}\right)^{n-1}\right).
\]

Por lo tanto, hemos demostrado que ambas formas de \(P(n)\) son equivalentes.

¿Hay algo más en lo que te pueda ayudar o algún detalle adicional que necesites?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede usar la notación de series para expresar funciones más complicadas?
2. ¿Qué otras técnicas de simplificación se pueden aplicar a las series geométricas?
3. ¿Cómo se comportan las series geométricas cuando \(n\) tiende a infinito?
4. ¿Por qué es importante verificar las condiciones de convergencia en las series geométricas?
5. ¿Cómo afecta el cambio de índice en una serie geométrica?

### Tip:

Cuando trabajes con series geométricas, a menudo es útil manipular el índice de la suma para simplificar o transformar la expresión a una forma más conveniente.

Explore the relationship between series expansion and exponential functions with detailed examples and step-by-step analysis. This problem involves simplifying exponential functions and verifying series expansion formulas, suitable for university-level mathematics.

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