resuelva la ecuacion trigonometrica tan(2x)=3tan(x) e indique la suma de sus soluciones en [ 0;2π]


Para resolver la ecuación trigonométrica \( \tan(2x) = 3\tan(x) \) e indicar la suma de sus soluciones en el intervalo \( [0, 2\pi] \), seguimos los siguientes pasos:

### Paso 1: Aplicar la identidad de ángulo doble
Sabemos que:
\[
\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}
\]
Entonces, la ecuación se convierte en:
\[
\frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} = 3\tan(x)
\]

### Paso 2: Simplificar la ecuación
Dividimos ambos lados de la ecuación por \( \tan(x) \), pero primero verificamos que \( \tan(x) \neq 0 \) para evitar perder soluciones:
\[
\frac{2}{1 - \tan^2(x)} = 3
\]

### Paso 3: Resolver para \( \tan(x) \)
Multiplicamos ambos lados por \( 1 - \tan^2(x) \) y luego simplificamos:
\[
2 = 3(1 - \tan^2(x))
\]
\[
2 = 3 - 3\tan^2(x)
\]
\[
3\tan^2(x) = 1
\]
\[
\tan^2(x) = \frac{1}{3}
\]
\[
\tan(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

### Paso 4: Encontrar las soluciones para \( x \)
Sabemos que:
\[
\tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{y} \quad \tan(x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}
\]
Los valores de \( x \) en el intervalo \( [0, 2\pi] \) que satisfacen estas ecuaciones son:
\[
x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{5\pi}{6}, \quad x = \frac{7\pi}{6}, \quad \text{y} \quad x = \frac{11\pi}{6}
\]

### Paso 5: Sumar las soluciones
Sumamos las soluciones obtenidas:
\[
\text{Suma de las soluciones} = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} = 4\pi
\]

### Respuesta final:
La suma de las soluciones en el intervalo \( [0, 2\pi] \) es \( 4\pi \).

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Cómo se derivan las identidades trigonométricas de ángulo doble?
2. ¿Qué ocurre si la tangente es cero en este tipo de ecuaciones?
3. ¿Cómo se determinan las soluciones para otras identidades trigonométricas?
4. ¿Por qué es importante verificar las restricciones al dividir en ecuaciones trigonométricas?
5. ¿Cómo se grafican estas soluciones en el círculo unitario?

**Tip:** Siempre verifica el dominio y las restricciones de las funciones trigonométricas cuando simplifiques o dividas ecuaciones.

Aprende cómo resolver la ecuación trigonométrica tan(2x) = 3tan(x) paso a paso con una solución detallada. Este problema abarca conceptos clave de trigonometría, incluyendo la identidad del ángulo doble para la tangente. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada.

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