Vamos a resolver el ejercicio en español paso a paso.

### Paso 1: Reconocer la ecuación como cuadrática en términos de \(\cos(x)\)
La ecuación \(2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0\) es una ecuación cuadrática en la variable \(\cos(x)\). La podemos resolver utilizando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas:

\[
\text{Fórmula General: } \cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Aquí, \(a = 2\), \(b = 1\), y \(c = -1\).

### Paso 2: Aplicar la fórmula cuadrática
Sustituyendo los valores de \(a\), \(b\), y \(c\) en la fórmula:

\[
\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{4}
\]
\[
\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}
\]
\[
\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}
\]
\[
\cos(x) = \frac{-1 \pm 3}{4}
\]

### Paso 3: Resolver para \(\cos(x)\)
Esto nos da dos posibles soluciones para \(\cos(x)\):

1. \(\cos(x) = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
2. \(\cos(x) = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\)

### Paso 4: Encontrar los ángulos \(x\) correspondientes a estos valores
Ahora, determinaremos los valores de \(x\) para cada caso:

1. **Para \(\cos(x) = \frac{1}{2}\):**
   \[
   x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{para cualquier entero } k
   \]

2. **Para \(\cos(x) = -1\):**
   \[
   x = \pi + 2k\pi \quad \text{para cualquier entero } k
   \]

### Paso 5: Escribir el conjunto solución
El conjunto solución \(x\) está dado por la unión de todos los posibles ángulos:

\[
x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad \text{o} \quad x = \pi + 2k\pi \quad \text{para cualquier entero } k
\]

Este es el conjunto solución completo para la ecuación trigonométrica.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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Aquí tienes cinco preguntas relacionadas para expandir tu comprensión:

1. ¿Cómo cambiaría la solución si la ecuación fuera \(2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 = 0\)?
2. ¿Cuáles son las soluciones generales para \(\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)?
3. ¿Puedes resolver la ecuación \(2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0\) y compararla con la ecuación original?
4. ¿Cómo resolverías la ecuación \(2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 2 = 0\) usando la fórmula cuadrática?
5. ¿Cómo encontrarías las soluciones específicas de la ecuación en el intervalo \([0, 2\pi)\)?

**Consejo:** Cuando resuelvas ecuaciones trigonométricas, siempre verifica si la ecuación se puede factorizar o reconocer como una forma cuadrática. Esto a menudo simplifica el proceso de encontrar las soluciones.

Aprende a resolver paso a paso la ecuación trigonométrica 2cos^2(x) + cos(x) - 1 = 0 utilizando la fórmula cuadrática. Explora las soluciones generales y específicas para esta ecuación. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada y universitarios interesados en trigonometría y ecuaciones cuadráticas.

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