El rango de la función f(x)=Log(−x2+4x−a)
 es (−∞,0]
. Cuál es el valor de a
?

Para determinar el valor de \( a \) tal que el rango de la función \( f(x) = \log(-x^2 + 4x - a) \) sea \( (-\infty, 0] \), necesitamos seguir estos pasos:

### 1. Condiciones para que el logaritmo sea definido:
El argumento de la función logarítmica debe ser positivo:
\[
-x^2 + 4x - a > 0
\]
Esto se puede reorganizar como:
\[
x^2 - 4x + a < 0
\]
### 2. Condición para que una parábola sea negativa:
Para que la expresión \( x^2 - 4x + a \) sea negativa, el discriminante de la ecuación cuadrática debe ser no negativo y la parábola debe estar completamente por debajo del eje \( x \). Esto ocurre cuando el discriminante \( \Delta \) es igual a cero, porque la parábola entonces tiene una raíz doble, y la parábola no corta el eje \( x \), es decir:
\[
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a
\]
La condición para que el discriminante sea igual a cero es:
\[
16 - 4a = 0
\]
\[
a = 4
\]

### 3. Verificación del rango:
Con \( a = 4 \), la función cuadrática se convierte en:
\[
-x^2 + 4x - 4
\]
El vértice de esta parábola está en \( x = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2 \), y sustituyendo \( x = 2 \) en la función, obtenemos:
\[
-x^2 + 4x - 4 = -(2^2) + 4(2) - 4 = -4 + 8 - 4 = 0
\]
Esto significa que la función logarítmica toma el valor 0 en \( x = 2 \), y como la parábola es negativa en otros puntos, el rango de \( f(x) \) es efectivamente \( (-\infty, 0] \).

### Respuesta final:
El valor de \( a \) es \( \boxed{4} \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el rango de una función logarítmica?
2. ¿Qué ocurre con el rango si \( a \) fuera diferente de 4?
3. ¿Qué pasaría si la parábola cortara al eje \( x \)?
4. ¿Cómo se calcula el discriminante de una ecuación cuadrática?
5. ¿Cómo influye el discriminante en la naturaleza de las raíces de una cuadrática?

**Tip:** Cuando trabajes con funciones logarítmicas, siempre asegúrate de que el argumento del logaritmo sea positivo.

Explore how to determine the value of a such that the range of the logarithmic function f(x) = Log(-x^2 + 4x - a) is (-∞, 0]. Understand the conditions for the function's range and verify through quadratic analysis.

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