Una escalera de 17 m de largo se encuentra recargada sobre una pared. La base de la escalera resbala a razón de 5m por segundo. ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 15m sobre el nivel del piso?

Para resolver este problema, utilizaremos la derivada implícita con respecto al tiempo en el contexto de un triángulo rectángulo formado por la pared, el suelo y la escalera.

Llamemos:
- \( x \) a la distancia de la base de la escalera al pie de la pared.
- \( y \) a la altura de la escalera sobre el nivel del piso.
- \( L \) a la longitud de la escalera, que es constante (17 m).

El triángulo rectángulo nos da la relación:
\[ x^2 + y^2 = L^2 \]

Derivamos implícitamente con respecto al tiempo \( t \):
\[ 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0 \]

Dado que \( \frac{dx}{dt} = 5 \) m/s (la velocidad a la que se mueve la base de la escalera), y queremos encontrar \( \frac{dy}{dt} \) cuando \( y = 15 \) m, primero necesitamos encontrar \( x \) cuando \( y = 15 \) m.

Usamos el teorema de Pitágoras para encontrar \( x \):
\[ x^2 + 15^2 = 17^2 \]
\[ x^2 + 225 = 289 \]
\[ x^2 = 64 \]
\[ x = 8 \, \text{m} \]

Ahora, sustituimos \( x = 8 \), \( y = 15 \) y \( \frac{dx}{dt} = 5 \) en la ecuación derivada:
\[ 2(8)(5) + 2(15) \frac{dy}{dt} = 0 \]
\[ 80 + 30 \frac{dy}{dt} = 0 \]
\[ 30 \frac{dy}{dt} = -80 \]
\[ \frac{dy}{dt} = -\frac{80}{30} \]
\[ \frac{dy}{dt} = -\frac{8}{3} \, \text{m/s} \]

Entonces, el otro extremo de la escalera resbala hacia abajo a una velocidad de \( \frac{8}{3} \) metros por segundo cuando se encuentra a 15 metros sobre el nivel del piso.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre el procedimiento? Aquí tienes algunas preguntas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se aplica la derivada implícita en otros problemas de movimiento?
2. ¿Podrías explicar más sobre el teorema de Pitágoras y su uso en problemas de triángulos?
3. ¿Qué otros problemas se pueden resolver con derivadas implícitas?
4. ¿Cómo afecta la velocidad de un objeto a diferentes alturas en problemas de movimiento?
5. ¿Qué pasaría si la longitud de la escalera cambiara?

**Tip:** En problemas de movimiento relacionado, es importante identificar todas las variables dependientes del tiempo y cómo se relacionan entre sí.

Descubre cómo calcular la rapidez con la que resbala el extremo de una escalera de 17 m sobre una pared cuando se encuentra a 15 m sobre el nivel del piso. Usa derivadas implícitas y el teorema de Pitágoras para resolver este problema matemático.

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