Un ave de presa que vuela horizontalmente a una altitud de 65 metros y con una rapidez de 3 m/s pasa directamente sobre una persona que está mirando inmóvil. Calcula la rapidez con la que aumenta la distancia del ave a la persona cuando ésta se encuentra a 120 metros de la persona

Para resolver este problema, utilizamos el teorema de Pitágoras y conceptos de derivadas. Denotemos la distancia horizontal del ave desde el punto directamente sobre la persona como \( x \), y la distancia total desde el ave a la persona como \( d \).

### Planteamiento del problema

1. **Altitud del ave:** \( h = 65 \) metros (constante).
2. **Velocidad horizontal del ave:** \( v = 3 \) m/s.
3. **Distancia horizontal desde la persona al ave:** \( x \) metros.
4. **Distancia desde el ave a la persona:** \( d \) metros.

La relación entre \( x \), \( h \), y \( d \) se da por el teorema de Pitágoras:

\[ d^2 = x^2 + h^2 \]

Sabemos que \( h \) es constante y \( x \) está aumentando con una rapidez de 3 m/s. Necesitamos encontrar la rapidez con la que \( d \) está aumentando cuando \( d = 120 \) metros.

### Derivada implícita

Diferenciamos ambos lados de la ecuación \( d^2 = x^2 + h^2 \) con respecto al tiempo \( t \):

\[ \frac{d}{dt}(d^2) = \frac{d}{dt}(x^2 + h^2) \]

Aplicando la regla de la cadena:

\[ 2d \frac{dd}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} \]

Podemos simplificar dividiendo ambos lados por 2:

\[ d \frac{dd}{dt} = x \frac{dx}{dt} \]

Despejamos \(\frac{dd}{dt}\):

\[ \frac{dd}{dt} = \frac{x \frac{dx}{dt}}{d} \]

### Sustitución de valores

- \( h = 65 \) metros.
- \( d = 120 \) metros.
- \( \frac{dx}{dt} = 3 \) m/s.

Para encontrar \( x \) cuando \( d = 120 \):

\[ d^2 = x^2 + h^2 \]
\[ 120^2 = x^2 + 65^2 \]
\[ 14400 = x^2 + 4225 \]
\[ x^2 = 10175 \]
\[ x = \sqrt{10175} \]
\[ x \approx 100.87 \, \text{metros} \]

Sustituimos los valores en la ecuación de \(\frac{dd}{dt}\):

\[ \frac{dd}{dt} = \frac{x \cdot \frac{dx}{dt}}{d} = \frac{100.87 \cdot 3}{120} \]

Calculamos el resultado:

\[ \frac{dd}{dt} = \frac{302.61}{120} \]
\[ \frac{dd}{dt} \approx 2.52 \, \text{m/s} \]

### Respuesta final

La rapidez con la que aumenta la distancia del ave a la persona cuando el ave se encuentra a 120 metros de la persona es aproximadamente \( 2.52 \) m/s.

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre el proceso?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplican las derivadas implícitas en problemas de movimiento?
2. ¿Qué otros problemas de movimiento pueden resolverse usando el teorema de Pitágoras?
3. ¿Cómo se puede interpretar físicamente la derivada de una distancia?
4. ¿Qué importancia tiene considerar el movimiento horizontal y vertical por separado?
5. ¿Cómo afectan las constantes en la ecuación al resultado final?
6. ¿Qué otros métodos existen para resolver problemas de velocidades relacionadas?
7. ¿Cómo se puede visualizar el problema geométricamente?
8. ¿Qué precauciones deben tomarse al trabajar con valores aproximados?

**Tip:** Al trabajar con problemas de movimiento y derivadas, es útil trazar un diagrama para visualizar la situación y comprender mejor las relaciones entre las variables.

Aprende a calcular la velocidad con la que aumenta la distancia del ave a una persona cuando el ave vuela horizontalmente a 65 metros de altitud y a una rapidez de 3 m/s. Este problema utiliza conceptos de derivadas implícitas y el teorema de Pitágoras para resolver la distancia entre el ave y la persona en función del tiempo. Adecuado para estudiantes de secundaria.

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