2.4    En el Restaurant Royal, el Administrador está tratando de evaluar cómo afecta una nueva campaña de publicidad a las ventas (en miles). Usando los datos registrados para los últimos 10 meses (vea la tabla), desarrolle una relación de regresión por mínimos cuadrados y después pronostique la venta esperada de los clientes cuando la publicidad es de 65,000 dólares en el mes 11.

Mes	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ventas (en miles)	21	24	27	32	29	37	43	43	54	66
Publicidad (en miles)	14	17	25	25	35	35	45	50	60	60






Para resolver este problema, necesitamos desarrollar una relación de regresión lineal simple entre las ventas (Y) y la publicidad (X) utilizando el método de mínimos cuadrados. El modelo de regresión lineal simple tiene la forma:

\[ Y = a + bX \]

donde:
- $ Y $ es la variable dependiente (ventas en miles).
- $ X $ es la variable independiente (publicidad en miles).
- $ a $ es la intersección (intercepto) con el eje Y.
- $ b $ es la pendiente de la recta, que indica cuánto cambia $ Y $ por un cambio unitario en $ X $.

### Paso 1: Cálculos necesarios

1. **Suma de las variables**:
   - $ \sum X $ = suma de la publicidad.
   - $ \sum Y $ = suma de las ventas.
   - $ \sum XY $ = suma del producto de X e Y.
   - $ \sum X^2 $ = suma de los cuadrados de la publicidad.

2. **Cálculo de la pendiente ($ b $) y el intercepto ($ a $)**:

\[
b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2}
\]

\[
a = \frac{\sum Y - b(\sum X)}{n}
\]

donde $ n $ es el número de datos (en este caso, 10).

### Paso 2: Calcular la predicción para $ X = 65 $ (65,000 dólares de publicidad).

Voy a realizar estos cálculos para ti ahora.### Resultados de la regresión lineal

1. **Ecuación de la recta de regresión**:  
   \[
   Y = 8.34 + 0.80X
   \]
   donde:
   - $ a = 8.34 $ es el intercepto.
   - $ b = 0.80 $ es la pendiente.

2. **Predicción para $ X = 65 $ (65,000 dólares de publicidad en el mes 11)**:  
   \[
   Y_{pred} = 8.34 + 0.80 \times 65 \approx 60.31
   \]
   Esto significa que cuando la publicidad es de 65,000 dólares, se espera que las ventas sean aproximadamente 60,310 dólares.

¿Quieres más detalles sobre este cálculo o alguna parte del proceso? Aquí hay algunas preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Qué tan precisa es la predicción si se considera el coeficiente de determinación $ R^2 $?
2. ¿Cómo cambiaría la predicción si se aumentara la publicidad a 70,000 dólares?
3. ¿Cuáles son los supuestos clave del modelo de regresión lineal?
4. ¿Cómo se podría interpretar la pendiente de 0.80 en este contexto?
5. ¿Qué efectos podrían tener otros factores en las ventas que no se han considerado aquí?

**Tip:** El coeficiente de determinación $ R^2 $ es una medida de qué tan bien el modelo de regresión explica la variabilidad de los datos observados.

Learn how to perform regression analysis to predict sales based on advertising spend. This problem involves developing a linear regression model using the least squares method and applying it to forecast sales when advertising expenditure reaches $65,000 in month 11.

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