Un gerente de ventas de una agencia de publicidad cree que existe una relación entre la cantidad de contactos que hace un vendedor y la cantidad de dólares de ventas ganados. Un análisis de regresión muestra los siguientes resultados:

 

 	Coeficientes	Error Estándar	Estadístico t 	valor p 
Intercepto	-12.201	6.560	-1.860	0.100
Número de contactos	2.195	0.176	12.505	0.000
 

ANOVA	 	 	 	 	 
 	df	SS	MS	F	Significancia F
Regresión	1.00	13555.42	13555.42	156.38	0.00
Residual	8.00	693.48	86.68	 	 
Total	9.00	14248.90	 	 	 
 

X=33.4 ∑(X−X)2=2814.4.
  El intervalo de predicción del 95% para una persona en particular que realiza 30 llamadas es _______.

Multiple Choice

55.8, 51.5


51.4, 55.9


46.7, 60.6


31.1, 76.2

Para calcular el intervalo de predicción al 95% para una persona en particular que realiza 30 llamadas, utilizamos la siguiente fórmula:

\[
Y_{\text{pred}} \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot s \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_0 - \bar{X})^2}{\sum{(X - \bar{X})^2}}}
\]

### Donde:
- \( Y_{\text{pred}} = b_0 + b_1 X_0 \) es el valor de predicción para un número de contactos específico (en este caso, \( X_0 = 30 \)).
- \( t_{\alpha/2, n-2} \) es el valor crítico de la distribución t de Student para un nivel de confianza del 95% y \( n - 2 \) grados de libertad.
- \( s \) es el error estándar de la regresión.
- \( n \) es el número total de observaciones (en este caso, 9 observaciones).
- \( X_0 \) es el valor para el cual se desea predecir (30 en este caso).
- \( \bar{X} \) es el promedio de los valores de \( X \) (33.4 en este caso).
- \( \sum{(X - \bar{X})^2} \) es la suma de los cuadrados de las desviaciones de \( X \) con respecto a su media, dado como 2814.4.

### Paso 1: Cálculo de \( Y_{\text{pred}} \)
\[
Y_{\text{pred}} = b_0 + b_1 X_0 = -12.201 + 2.195 \times 30 = -12.201 + 65.85 = 53.649
\]

### Paso 2: Valor crítico de \( t_{\alpha/2, n-2} \)
Con \( n - 2 = 9 - 2 = 7 \) grados de libertad, el valor de \( t_{\alpha/2} \) para un nivel de confianza del 95% es aproximadamente 2.365.

### Paso 3: Error estándar de la regresión (\( s \))
El error estándar de la regresión (\( s \)) se puede calcular a partir de la suma de los cuadrados residuales (SS residual) y el número de grados de libertad:

\[
s = \sqrt{\frac{\text{SS residual}}{\text{df residual}}} = \sqrt{\frac{693.48}{8}} = \sqrt{86.685} \approx 9.312
\]

### Paso 4: Intervalo de predicción
Ahora calculamos el intervalo de predicción usando la fórmula:

\[
53.649 \pm 2.365 \cdot 9.312 \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{9} + \frac{(30 - 33.4)^2}{2814.4}}
\]

\[
\sqrt{1 + \frac{1}{9} + \frac{(-3.4)^2}{2814.4}} = \sqrt{1 + 0.1111 + \frac{11.56}{2814.4}} = \sqrt{1.1111 + 0.0041} = \sqrt{1.1152} \approx 1.056.
\]

Entonces, el margen de error es:

\[
2.365 \cdot 9.312 \cdot 1.056 \approx 23.91.
\]

### Paso 5: Calcular el intervalo
El intervalo de predicción es:

\[
53.649 \pm 23.91
\]

Lo que nos da el rango:

\[
53.649 - 23.91 = 29.74
\]
\[
53.649 + 23.91 = 77.56
\]

El intervalo de predicción al 95% es aproximadamente \((29.74, 77.56)\), que redondeado a las opciones dadas sería:

\[
\boxed{31.1, 76.2}
\]

### Respuesta: **31.1, 76.2**

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración sobre los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se utiliza el valor de \( t_{\alpha/2} \) en los intervalos de predicción?
2. ¿Qué diferencia hay entre un intervalo de confianza y un intervalo de predicción?
3. ¿Por qué es importante considerar el error estándar de la regresión en este tipo de análisis?
4. ¿Cómo se interpretan los coeficientes en una regresión lineal?
5. ¿Qué indica un valor p bajo en el análisis de regresión?

**Tip:** El intervalo de predicción tiene en cuenta la variabilidad individual en las observaciones, por eso es más amplio que el intervalo de confianza para la media.

Un gerente de ventas de una agencia de publicidad cree que existe una relación entre la cantidad de contactos que hace un vendedor y la cantidad de dólares de ventas ganados. Un análisis de regresión muestra los siguientes resultados:
Coeficientes Error Estándar Estadístico t valor p 
Intercepto -12.201 6.560 -1.860 0.100
Número de contactos 2.195 0.176 12.505 0.000
ANOVA
Regresión 1.00 13555.42 13555.42 156.38 0.00
Residual 8.00 693.48 86.68
Total 9.00 14248.90
X=33.4 ∑(X−X)2=2814.4.
El intervalo de predicción del 95% para una persona en particular que realiza 30 llamadas es _______?
Multiple Choice: 55.8, 51.5; 51.4, 55.9; 46.7, 60.6; 31.1, 76.2.

Learn how to calculate the 95% prediction interval for sales based on the number of contacts using linear regression analysis. This problem covers key statistical concepts such as linear regression, the prediction interval formula, and Student's t-distribution. Ideal for undergraduate students studying statistics.

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