 Cada lado de um quadrado est´a aumentado a uma taxa de 6 cm/s. A que
 taxa a ´area do quadrado est´a aumentando quando a ´area do quadrado for
 16 cm2?

Vamos resolver o problema utilizando derivadas relacionadas para encontrar a taxa de variação da área do quadrado em relação ao tempo.

### Passo 1: Definir as variáveis

Seja \( s \) o comprimento do lado do quadrado e \( A \) a área do quadrado.

\[
A = s^2
\]

A taxa de variação do lado em relação ao tempo é dada por \( \frac{ds}{dt} = 6 \) cm/s.

Queremos encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo \( \frac{dA}{dt} \) quando a área for \( A = 16 \) cm².

### Passo 2: Diferenciar a equação da área em relação ao tempo

Derivando ambos os lados da equação \( A = s^2 \) em relação ao tempo \( t \):

\[
\frac{dA}{dt} = 2s \cdot \frac{ds}{dt}
\]

### Passo 3: Encontrar o valor de \( s \) quando \( A = 16 \) cm²

Como \( A = s^2 \), podemos resolver para \( s \):

\[
s = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
\]

### Passo 4: Substituir os valores na equação derivada

Agora, substituímos \( s = 4 \) cm e \( \frac{ds}{dt} = 6 \) cm/s na equação \( \frac{dA}{dt} = 2s \cdot \frac{ds}{dt} \):

\[
\frac{dA}{dt} = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48 \text{ cm}^2/\text{s}
\]

### Resposta Final
A taxa de variação da área do quadrado em relação ao tempo quando a área é de 16 cm² é de **48 cm²/s**.

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, sinta-se à vontade para perguntar!

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. Como a taxa de variação da área muda se a taxa de variação do lado for constante, mas diferente?
2. Como a taxa de variação da área depende do tamanho do lado do quadrado?
3. Qual seria a taxa de variação da área se a área inicial fosse diferente?
4. Como podemos aplicar derivadas relacionadas a outras formas geométricas?
5. O que aconteceria com a taxa de variação da área se a taxa de aumento do lado diminuísse ao longo do tempo?

**Dica:** Sempre que trabalhar com taxas relacionadas, identifique claramente as variáveis e as respectivas taxas de variação antes de derivar as equações.

Understand how to find the rate at which the area of a square increases with respect to time, given the side length increases at a constant rate. Solve the problem step-by-step using derivatives and related rates formulas. Suitable for high school students.

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