Considerar un tetraedro regular, con arista 10 cm. Si las aristas aumentan de longitud a razón de 0,1 cm/mín. Calcular con qué velocidad aumenta el volumen y el área total.

Para resolver este problema, necesitamos encontrar cómo varían el volumen y el área superficial total de un tetraedro regular a medida que su arista aumenta.

### Paso 1: Fórmulas del volumen y el área superficial de un tetraedro regular

1. **Volumen** de un tetraedro regular con arista \( a \) está dado por:
   \[
   V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}
   \]

2. **Área superficial total** de un tetraedro regular con arista \( a \) está dada por:
   \[
   A = \sqrt{3} a^2
   \]

### Paso 2: Derivar las expresiones con respecto al tiempo

1. **Velocidad de cambio del volumen**:
   Derivamos \( V \) con respecto al tiempo \( t \):
   \[
   \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{a^3 \sqrt{2}}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 3a^2 \cdot \frac{da}{dt}
   \]
   Simplificando:
   \[
   \frac{dV}{dt} = \frac{\sqrt{2} \cdot a^2}{4} \cdot \frac{da}{dt}
   \]

2. **Velocidad de cambio del área superficial total**:
   Derivamos \( A \) con respecto al tiempo \( t \):
   \[
   \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\sqrt{3} a^2\right) = 2 \sqrt{3} a \cdot \frac{da}{dt}
   \]

### Paso 3: Sustituir los valores dados

- Longitud inicial de la arista, \( a = 10 \) cm
- Tasa de cambio de la arista, \( \frac{da}{dt} = 0.1 \) cm/min

1. **Tasa de cambio del volumen**:
   \[
   \frac{dV}{dt} = \frac{\sqrt{2} \cdot (10)^2}{4} \cdot 0.1
   \]
   \[
   \frac{dV}{dt} = \frac{\sqrt{2} \cdot 100}{4} \cdot 0.1 = \frac{100\sqrt{2}}{4} \cdot 0.1 = 2.5\sqrt{2} \, \text{cm}^3/\text{min}
   \]
   Aproximando:
   \[
   \frac{dV}{dt} \approx 3.54 \, \text{cm}^3/\text{min}
   \]

2. **Tasa de cambio del área superficial total**:
   \[
   \frac{dA}{dt} = 2 \sqrt{3} \cdot 10 \cdot 0.1
   \]
   \[
   \frac{dA}{dt} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3} \, \text{cm}^2/\text{min}
   \]
   Aproximando:
   \[
   \frac{dA}{dt} \approx 3.46 \, \text{cm}^2/\text{min}
   \]

### Respuestas finales:
- La velocidad a la cual aumenta el volumen del tetraedro es aproximadamente \( 3.54 \, \text{cm}^3/\text{min} \).
- La velocidad a la cual aumenta el área superficial total del tetraedro es aproximadamente \( 3.46 \, \text{cm}^2/\text{min} \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo varían las tasas si la longitud de la arista cambia a un ritmo diferente?
2. ¿Cómo calcular la tasa de cambio del volumen de otros poliedros regulares?
3. ¿Cómo afecta un cambio en la temperatura a la expansión de un tetraedro?
4. ¿Qué sucede si consideramos un tetraedro no regular?
5. ¿Cómo cambiarían las tasas si el tetraedro estuviera inmerso en un fluido y se expandiera?
6. ¿Cómo se calcula el centroide de un tetraedro regular?
7. ¿Cómo encontrar la relación entre el volumen y el área superficial de un tetraedro?
8. ¿Cómo afecta un aumento en la arista a la inercia del tetraedro?

### Tip:
Al tratar con problemas de tasas relacionadas, es esencial derivar cuidadosamente las fórmulas y no sustituir valores numéricos hasta que se hayan obtenido las expresiones simbólicas necesarias.

Learn how to calculate the rates at which the volume and total surface area of a regular tetrahedron change as its edge length increases. Detailed step-by-step solution provided, including formulas for volume and surface area. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation