dame la derivada de y= raiz cuadrade de 5x elevado al cuadrado - 1

La función que deseas derivar es:

\[
y = \sqrt{5x^2 - 1}
\]

Primero, vamos a reescribir la función usando potencias fraccionarias:

\[
y = (5x^2 - 1)^{1/2}
\]

Para derivar, aplicamos la regla de la cadena. La derivada de una función de la forma \( (u)^{n} \), donde \( u \) es una función de \( x \), es:

\[
\frac{d}{dx} (u^n) = n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx}
\]

Aquí, \( u = 5x^2 - 1 \) y \( n = \frac{1}{2} \). Entonces, derivamos:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot (5x^2 - 1)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(5x^2 - 1)
\]

Ahora derivamos \( 5x^2 - 1 \):

\[
\frac{d}{dx}(5x^2 - 1) = 10x
\]

Sustituimos esta derivada en la expresión:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot (5x^2 - 1)^{-1/2} \cdot 10x
\]

Simplificando:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{10x}{2} \cdot (5x^2 - 1)^{-1/2}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = 5x \cdot (5x^2 - 1)^{-1/2}
\]

Por lo tanto, la derivada es:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{5x}{\sqrt{5x^2 - 1}}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre la derivación o algún paso específico? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en funciones más complejas?
2. ¿Qué ocurre si cambio la base de la raíz cuadrada a una cúbica?
3. ¿Cómo se derivan funciones compuestas más complejas?
4. ¿Cómo se simplifican expresiones con potencias fraccionarias?
5. ¿Qué otros métodos existen para derivar funciones con raíces?

**Tip:** Para funciones con raíces o exponentes fraccionarios, siempre es útil reescribir la raíz como una potencia para aplicar la regla de la cadena fácilmente.

dame la derivada de y= raiz cuadrada de 5x elevado al cuadrado - 1

This guide demonstrates how to compute the derivative of y = sqrt(5x^2 - 1) using the chain rule and power rule. Follow a step-by-step breakdown of the solution, including key formulas and algebraic techniques. Suitable for students in Grades 10-12.

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