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Necesito ayuda en esta tarea de cálculo 

Voy a ayudarte con esta tarea de cálculo. A continuación, resolveré cada una de las preguntas de manera detallada.

### Pregunta 1:
**"La medida de uno de los lados de la base de una pirámide cuadrangular recta varía con el tiempo, según la función de longitud \(l(t) = 1 + 2t^2\), donde \(l(t)\) se mide en metros y \(t\) en segundos. Encuentra la razón de cambio del volumen de la pirámide en función de \(t\)."**

#### Solución:
1. La fórmula para el volumen \(V\) de una pirámide cuadrangular recta es:
   \[
   V = \frac{1}{3} \times \text{Área de la base} \times \text{Altura}
   \]
   Para una base cuadrada de lado \(l(t)\), el área de la base es \(l(t)^2\).
   Por lo tanto, la fórmula se convierte en:
   \[
   V(t) = \frac{1}{3} l(t)^2 h
   \]
   donde \(h\) es la altura de la pirámide, que asumimos constante.

2. Sustituyendo \(l(t) = 1 + 2t^2\):
   \[
   V(t) = \frac{1}{3} (1 + 2t^2)^2 h
   \]

3. Para encontrar la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo, derivamos \(V(t)\) con respecto a \(t\):
   \[
   \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} h \cdot 2(1 + 2t^2) \cdot 4t
   \]
   Simplificando:
   \[
   \frac{dV}{dt} = \frac{8ht(1 + 2t^2)}{3}
   \]

### Pregunta 2:
**"Un globo esférico de forma similar a un globo terráqueo está en proceso de expansión constante de \(3 \text{ cm}^3/\text{s}\) en su volumen en el punto de despegar su radio mide 5 cm. ¿A qué razón aumenta su área superficial?"**

#### Solución:
1. La fórmula para el volumen de una esfera es:
   \[
   V = \frac{4}{3} \pi r^3
   \]
   Derivando con respecto al tiempo \(t\):
   \[
   \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}
   \]
   Sabemos que \(\frac{dV}{dt} = 3 \text{ cm}^3/\text{s}\) y que \(r = 5 \text{ cm}\) en el momento considerado.

2. Resolviendo para \(\frac{dr}{dt}\):
   \[
   3 = 4\pi (5)^2 \frac{dr}{dt}
   \]
   \[
   \frac{dr}{dt} = \frac{3}{100\pi} \text{ cm/s}
   \]

3. Ahora, la fórmula para el área superficial \(S\) de una esfera es:
   \[
   S = 4\pi r^2
   \]
   Derivando con respecto al tiempo:
   \[
   \frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}
   \]
   Sustituyendo los valores:
   \[
   \frac{dS}{dt} = 8\pi (5) \left(\frac{3}{100\pi}\right)
   \]
   Simplificando:
   \[
   \frac{dS}{dt} = \frac{24}{5} \text{ cm}^2/\text{s}
   \]

### Pregunta 3:
**"Determine las ecuaciones de las rectas de disminución tangente a la función \(f(x) = \frac{3x}{x^2+1}\) en el punto \(A(-1, -\frac{3}{2})\)."**

#### Solución:
1. Para encontrar la pendiente de la tangente en \(x = -1\), derivamos \(f(x)\) usando la regla del cociente:
   \[
   f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(3) - 3x(2x)}{(x^2 + 1)^2}
   \]
   Simplificando:
   \[
   f'(x) = \frac{3(x^2 + 1 - 2x^2)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}
   \]

2. Evaluando la derivada en \(x = -1\):
   \[
   f'(-1) = \frac{3(1 - (-1)^2)}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{3(1 - 1)}{(1 + 1)^2} = 0
   \]
   La pendiente de la tangente en \(x = -1\) es \(0\), lo que significa que la tangente es una línea horizontal.

3. La ecuación de la recta tangente será:
   \[
   y = -\frac{3}{2}
   \]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre estos pasos?

### Preguntas Relativas:
1. ¿Qué ocurre si la altura de la pirámide en la primera pregunta también varía con el tiempo?
2. ¿Cómo cambiaría el problema si el globo esférico tuviera una expansión no constante?
3. ¿Cuál sería el efecto en la pendiente si \(f(x)\) en la tercera pregunta fuera una función diferente?
4. ¿Cómo calcularías la razón de cambio en una pirámide si la base fuera triangular en lugar de cuadrada?
5. ¿Qué cambios habría en el cálculo si en el segundo problema, el globo comenzara a expandirse desde un radio mayor?

### Tip:
Cuando resuelvas problemas de razones de cambio, asegúrate de identificar claramente las variables que cambian con el tiempo y cómo están relacionadas entre sí.

Explore detailed solutions to calculus problems involving rate of change in volume and surface area. Learn how to apply derivative concepts to find the rate of change in complex geometric figures. Suitable for advanced high school students and calculus enthusiasts.

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