Al aumentar en la misma proporción la longitud de los lados de un cuadrado, su área aumenta en un 69 %. ¿Qué porcentaje aumentaron sus lados?

Para resolver este problema, sigamos los siguientes pasos:

1. **Área original del cuadrado**: Supongamos que la longitud original del lado del cuadrado es \( L \). Entonces, el área original \( A \) es:
   \[
   A = L^2
   \]

2. **Área nueva del cuadrado**: Al aumentar los lados en una proporción \( k \), la nueva longitud de los lados es \( kL \). Entonces, el área nueva \( A' \) es:
   \[
   A' = (kL)^2 = k^2L^2
   \]

3. **Relación entre las áreas**: Se nos dice que el área nueva es un 69 % mayor que el área original. Por lo tanto:
   \[
   A' = A + 0.69A = 1.69A
   \]

   Como \( A = L^2 \), tenemos:
   \[
   k^2L^2 = 1.69L^2
   \]

4. **Resolver para \( k \)**: Dividimos ambos lados por \( L^2 \):
   \[
   k^2 = 1.69
   \]

   Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:
   \[
   k = \sqrt{1.69} = 1.3
   \]

5. **Porcentaje de aumento**: El factor de aumento \( k \) es 1.3, lo que significa que los lados del cuadrado aumentaron en un 30 %.

Entonces, los lados del cuadrado aumentaron en un 30 %.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes cinco preguntas que puedes hacer:
1. ¿Cómo se calcula el área de un triángulo?
2. ¿Qué es el teorema de Pitágoras y cómo se aplica?
3. ¿Cómo se determina el perímetro de un polígono regular?
4. ¿Qué son los números primos y cómo se identifican?
5. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática?

**Tip:** Cuando trabajes con proporciones y porcentajes en problemas de geometría, es útil recordar las relaciones fundamentales entre las dimensiones y las áreas o volúmenes de las figuras geométricas.

Explore how to solve a problem where increasing the sides of a square by the same proportion increases its area by 69%. Detailed steps include using geometric proportions and area calculation. Suitable for students in Grades 9-12.

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