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poderia resolver todas as questões sem nenhum erro, por favor 

Vamos resolver todas as questões da imagem detalhadamente. 

### 1. Use as propriedades da radiciação para simplificar:
#### (a) \(\sqrt{\frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}\)
- Simplifique o radical no numerador e no denominador: \(\sqrt{3}\) no numerador e denominador se cancelam.
  \[
  \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2
  \]

#### (b) \(\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}\)
- Multiplique pelo conjugado:
  \[
  \frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 - \sqrt{3})^2}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}
  \]
  \[
  (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}
  \]
  \[
  (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1
  \]
  Logo:
  \[
  \sqrt{\frac{7 - 4\sqrt{3}}{1}} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}
  \]

### 2. Calcule o valor da expressão:
\[
\frac{\frac{12}{7 + 3} - 5}{8 \div \frac{3\sqrt{3}}{7}}
\]
- Primeiro, calcule o denominador e o numerador separadamente:
  \[
  \frac{12}{7 + 3} = \frac{12}{10} = 1.2
  \]
  Então:
  \[
  \frac{1.2 - 5}{8 \div \frac{3\sqrt{3}}{7}} = \frac{-3.8}{8 \div \frac{3\sqrt{3}}{7}}
  \]
  Agora resolvendo o denominador:
  \[
  8 \div \frac{3\sqrt{3}}{7} = 8 \cdot \frac{7}{3\sqrt{3}} = \frac{56}{3\sqrt{3}} = \frac{56 \cdot \sqrt{3}}{9}
  \]
  Logo, a expressão completa é:
  \[
  \frac{-3.8}{\frac{56\sqrt{3}}{9}} = -3.8 \cdot \frac{9}{56\sqrt{3}} = \frac{-34.2}{56\sqrt{3}}
  \]

### 3. Construa os gráficos das funções exponenciais abaixo:
#### (a) \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\)
- Essa é uma função decrescente que passa pelos pontos \((0,1)\), \((1, \frac{1}{2})\) e \((2, \frac{1}{4})\).

#### (b) \(g(x) = 3 \cdot 2^x\)
- Essa é uma função crescente que passa pelos pontos \((0,3)\), \((1, 6)\) e \((2, 12)\).

### 4. Resolva as seguintes equações exponenciais:
#### (a) \(2^x = 32\)
- Escreva \(32\) como potência de \(2\): \(32 = 2^5\).
  \[
  2^x = 2^5 \implies x = 5
  \]

#### (b) \(4^{x - 1} = 17\)
- Escreva \(4\) como \(2^2\): 
  \[
  (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 17
  \]
  Tire o logaritmo de ambos os lados:
  \[
  2(x - 1) \ln 2 = \ln 17 \implies x = \frac{\ln 17}{2 \ln 2} + 1
  \]

#### (c) \(5^{2x + 1} = 25\)
- Escreva \(25\) como \(5^2\):
  \[
  5^{2x + 1} = 5^2 \implies 2x + 1 = 2 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
  \]

### 5. Resolva as seguintes inequações exponenciais:
#### (a) \(2^x > \frac{1}{16}\)
- Escreva \(16\) como \(2^4\):
  \[
  2^x > 2^{-4} \implies x > -4
  \]

#### (b) \(3^{2x} \leq \frac{1}{81}\)
- Escreva \(81\) como \(3^4\):
  \[
  3^{2x} \leq 3^{-4} \implies 2x \leq -4 \implies x \leq -2
  \]

#### (c) \(4^{x + 1} - 2^{x+2} + 2^x \geq 0\)
- Escreva \(4^{x+1}\) como \(2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}\), reescrevendo a inequação:
  \[
  2^{2x+2} - 2^{x+2} + 2^x \geq 0
  \]
  Fatorando:
  \[
  2^x(2^{x+2} - 4 + 1) \geq 0
  \]

#### (d) \(4^{x+1} - 4^x \geq 144\)
- Escreva \(4^x\) como \(y\), então:
  \[
  4y - y = 144 \implies 3y = 144 \implies y = 48
  \]
  Logo:
  \[
  4^x = 48 \implies x = \log_4 48
  \]

Se você quiser mais detalhes ou ter perguntas, estou à disposição! Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como se resolve uma inequação exponencial mais complexa?
2. Qual a diferença entre uma equação e uma inequação exponencial?
3. Como posso identificar funções crescentes e decrescentes exponenciais?
4. Como o logaritmo pode ser utilizado para resolver equações exponenciais?
5. Como construir gráficos de funções exponenciais?

**Dica:** As propriedades de logaritmos são muito úteis para resolver equações exponenciais complicadas!

Poderia resolver todas as questões sem nenhum erro, por favor?

Detailed step-by-step solutions to exponential equations, radical simplifications, and inequalities for high school students. Includes solving exponential functions and graphing exponential growth and decay.

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