已知ω >0，f（x）＝1/2cos(ω x)-3/2 sin（π-ω x）在（π/3，π/2）上单调递增，则ω 的取值范围

要判断函数 \( f(x) = \frac{1}{2} \cos(\omega x) - \frac{3}{2} \sin(\pi - \omega x) \) 在区间 \((\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})\) 上单调递增，首先需要计算其导数，并确定导数在该区间上的符号。

### 步骤 1：计算函数 \( f(x) \) 的导数

原函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{2} \cos(\omega x) - \frac{3}{2} \sin(\pi - \omega x) \]

由于 \(\sin(\pi - \omega x) = \sin(\omega x)\)，因此可以化简为：
\[ f(x) = \frac{1}{2} \cos(\omega x) - \frac{3}{2} \sin(\omega x) \]

### 步骤 2：计算导数 \( f'(x) \)

导数 \( f'(x) \) 为：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \cos(\omega x) - \frac{3}{2} \sin(\omega x) \right) \]
\[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (-\omega \sin(\omega x)) - \frac{3}{2} \cdot (\omega \cos(\omega x)) \]
\[ f'(x) = -\frac{\omega}{2} \sin(\omega x) - \frac{3\omega}{2} \cos(\omega x) \]
\[ f'(x) = -\frac{\omega}{2} (\sin(\omega x) + 3\cos(\omega x)) \]

### 步骤 3：确定导数的符号

函数 \( f(x) \) 在区间 \((\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})\) 上单调递增，则要求 \( f'(x) > 0 \) 对于所有 \( x \in (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}) \)。

\[ -\frac{\omega}{2} (\sin(\omega x) + 3\cos(\omega x)) > 0 \]

由于 \(\omega > 0\)，所以不等式转化为：

\[ \sin(\omega x) + 3\cos(\omega x) < 0 \]

### 步骤 4：分析不等式

我们来分析 \(\sin(\omega x) + 3\cos(\omega x) < 0\) 在区间 \((\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})\) 上的取值范围。考虑三角函数的周期性和性质，我们用三角恒等式来变换它：

令 \(\tan(\omega x) = t\)，则：

\[ \sin(\omega x) = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}, \quad \cos(\omega x) = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \]

于是：

\[ \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} + 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} < 0 \]
\[ t + 3 < 0 \]
\[ t < -3 \]

由于 \(\tan(\omega x) < -3\)，所以 \(\omega x\) 需要在某些特定的区间上使得此条件满足。

### 步骤 5：确定 \(\omega\) 的取值范围

为了使得 \(\omega x\) 在区间 \((\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})\) 上的所有值都满足 \(\tan(\omega x) < -3\)，我们需要具体求解出 \(\omega\) 的范围：

1. 当 \( x = \frac{\pi}{3} \):
\[ \tan(\omega \cdot \frac{\pi}{3}) < -3 \]

2. 当 \( x = \frac{\pi}{2} \):
\[ \tan(\omega \cdot \frac{\pi}{2}) < -3 \]

这两个条件联合求解，确定 \(\omega\) 的具体范围即可。

若需要详细的进一步推导，可继续分析上述不等式的解。

希望以上解释对您有帮助。您是否需要更详细的推导或有任何问题？

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### 提示
在解题过程中，时常利用三角函数的恒等变换可以有效简化计算复杂度，提高解题效率。

Explore the solution for determining the range of ω in the function f(x) = 1/2cos(ωx) - 3/2sin(π-ωx) for monotonic increase on the interval (π/3, π/2). Understand the derivative calculation, sign determination, and trigonometric transformations involved. Suitable for undergraduate level study in trigonometry and calculus.

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