Indique el intervalo donde las siguientes funciones son ortogonales:

f(x)=cos(x),g(x)=sen2(x)

Seleccione una:

a.
[0,π]


b.
[0,π4]


c.
[0,π3]


d.
[0,π2]

Para determinar el intervalo donde las funciones \( f(x) = \cos(x) \) y \( g(x) = \sin^2(x) \) son ortogonales, necesitamos evaluar la integral del producto de las dos funciones en el intervalo \([a, b]\) y ver en qué intervalo esta integral es igual a cero:

\[
\int_a^b \cos(x) \sin^2(x) \, dx = 0
\]

La función \( \sin^2(x) \) puede ser expresada como:

\[
\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
\]

Por lo tanto, la integral se convierte en:

\[
\int_a^b \cos(x) \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx
\]

\[
= \frac{1}{2} \int_a^b \cos(x) \, dx - \frac{1}{2} \int_a^b \cos(x) \cos(2x) \, dx
\]

Evaluando estas integrales y buscando los valores de \( a \) y \( b \) que hagan que la integral sea cero, encontramos que el intervalo donde las funciones son ortogonales es:

**d.** \([0, \frac{\pi}{2}]\).

¿Te gustaría ver los pasos detallados del cálculo de las integrales o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la integral de un producto de funciones trigonométricas?
2. ¿Qué significa que dos funciones sean ortogonales en un intervalo?
3. ¿Cómo se utiliza la ortogonalidad en la teoría de Fourier?
4. ¿Qué otros métodos existen para verificar la ortogonalidad de funciones?
5. ¿Qué sucede si integramos en un intervalo distinto a \([0, \frac{\pi}{2}]\)?

### Tip:
Recuerda que las funciones ortogonales son fundamentales en muchas áreas de la matemática, como en la expansión en series de Fourier.

Discover the interval where the functions \( f(x) = \cos(x) \) and \( g(x) = \sin^2(x) \) are orthogonal through detailed integration analysis. Learn about trigonometric identities and orthogonality theorems. Suitable for undergraduate students studying trigonometry and calculus.

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